Kaj je največji pravokotnik, ki ga je mogoče vpisati v enakostranični trikotnik s stranicami 12?

Odgovor:

# (3, 0), (9, 0), (9, 3 sqrt 3), (3, 3 sqrt 3) #

Pojasnilo:

#Delta VAB; P, Q v AB; R v VA; S v VB #

#A = (0, 0), B = (12, 0), V = (6, 6 sqrt 3) #

#P = (p, 0), Q = (q, 0), 0 <p <q <12 #

#VA: y = x sqrt 3 Rightarrow R = (p, p sqrt 3), 0 <p <6 #

#VB: y = (12 - x) sqrt 3 Rightarrow S = (q, (12 - q) sqrt 3), 6 <q <12 #

#y_R = y_S Rightarrow p sqrt 3 = (12 - q) sqrt 3 Rightarrow q = 12 - p #

#z (p) = #Območje #PQSR = (q - p) p sqrt 3 = 12p sqrt 3 - 2p ^ 2 sqrt 3 #

To je parabola in želimo Vertex # W #.

#z (p) = a p ^ 2 + bp + c Desna smer W = ((-b) / (2a), z (-b / (2a))) #

#x_W = (-12 sqrt 3) / (- 4 sqrt 3) = 3 #

#z (3) = 36 sqrt 3 - 18 sqrt 3 #

Z uporabo Pitagorejeve teoreme je trikotnik s stranicami, ki merijo naslednji trikotnik: 12, 9, 15?

Da V pravokotnem trikotniku je kvadrat na hipotenuzi (najdaljša stran nasproti pravim kotom) enak vsoti kvadrata na drugih dveh straneh. Zdaj, od 12 ^ 2 + 9 ^ 2 = 225 = 15 ^ 2, sledi, da te tri dimenzije opisujejo, da je pravokotni trikotnik, ker je Pythagorasova teorema zadovoljna.

Kakšno je območje največjega pravokotnika, ki ga je mogoče vpisati v elipso: 9 (x ^ 2) + 4 (y ^ 2) = 36?

A = 12 9 (x ^ 2) + 4 (y ^ 2) = 36 equiv x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 Težavo lahko postavimo kot: Najdi Max xy ali enakovredno Max x ^ 2y ^ 2 tak, da je x ^ 2/4 + y ^ 2/9 = 1 Zdaj je X = x ^ 2, Y = y ^ 2, problem je enak Najdi max (X * Y) ob X / 4 + Y / 9 = 1 Lagrangian za določitev stacionarnih točk je L (X, Y, lambda) = X * Y + lambda (X / 4 + Y / 9-1) Stacionarni pogoji so grad L (X, Y, lambda) = vec 0 ali {(lambda / 2 + Y = 0), (lambda / 9 + X = 0), (X / 2 + Y / 9 - 1 = 0):} Reševanje za X, Y, lambda daje {X_0 = 2, Y_0 = 9/2, lambda_0 = -18} tako {x_0 = sqrt (2), y_0 = 3 / sqrt (2)} A = 4 x_0 y_0 = 4 xx3 = 12

Ali je lahko enakostranični trikotnik pravi trikotnik?

Nikoli. Enakostranični trikotnik ima vse kote enake 60 stopinj. Za pravokoten trikotnik mora biti en kot 90 stopinj.