Psi (x, t) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) novo vprašanje ?

#a) #

Samo vzeti moraš #Psi ^ "*" Psi #.

#color (modra) (Psi ^ "*" Psi) = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) ^ "*" sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ (iomega_2t) sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) e ^ - (iomega_1t) + sqrt (1 / L) sin ((2pix) / L) e ^ - (iomega_2t) #

# = 1 / Lsin ^ 2 ((pix) / L) + 1 / L ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_2-omega_1) t) + 1 / L sin ^ 2 ((2pix) / L) #

# = barva (modra) (1 / L sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) + 1 / L sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (i (omega_1-omega_2) t) + e ^ (i (omega_2-omega_1) t)) #

#b) #

Obdobje je mogoče najti z minimalnim naporom, preprosto s prvim poznavanjem energij, ki so konstante gibanja.

Energija # phi_1 = sqrt (1 / L) sin ((pix) / L) # je # E_1 = (1 ^ 2pi ^ 2ℏ ^ 2) / (4mL ^ 2) #in energijo # phi_2 # je # 4E_1 #. Zato je pogostost # omega_2 # od # phi_2 # je štirikrat večji od # phi_1 # (# omega_1 #).

Kot rezultat, obdobje # T_1 = (2pi) / (omega_1) # od # phi_1 # je štirikrat večji od # phi_2 # (# T_2 = (2pi) / (omega_2) #, in je tudi obdobje # phi_2 #.

Obdobje je tako #barva (modra) (T = (2pi) / (omega_1)) #.

#c) #

Dovolil ti bom, da ta vtakneš v sebe kot #t _ "*" = pi / 2 (E_2 E_1) #. Ni vam treba ničesar storiti …

To vemo #T = (2pi) / (omega_1) #, in to # (iEt) / io = iomegat #, Torej

#E_n = omega_nℏ #.

Kot rezultat, # pi / (2 (E_2-E_1)) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) #

in

#barva (modra) (t _ "*" / T) = pi / (2 (omega_2-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2pi) #

# = 1 / (2 (4omega_1-omega_1) ℏ) cdot (omega_1) / (2) #

# = omega_1 / (4ℏ (3omega_1)) #

# = barva (modra) (1 / (12ℏ)) #

#d) #

Verjetnost, da bomo našli delca v # 0, L / 2 # je podan kot

#int_ (0) ^ (L / 2) Psi ^ "*" Psidx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) e ^ (- 3iomega_1t) + e ^ (3iomega_1t) dx #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) sin ^ 2 ((pix) / L) + sin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2sin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Prva dva izraza sta simetrična s polovico amplitude in donosa #50%# na splošno.

Tretji izraz bi imel verjetnost stacionarnega stanja # 4 / (3pi) #, in # cos # je poljubni fazni faktor. Tako je skupna verjetnost

# = barva (modra) (0.50 + 4 / (3pi) cos (3omega_1t)) #

#e) #

#color (modra) (<< x >>) = << Psi | x | Psi >> = << xPsi | Psi >> #

# = 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) xsin ^ 2 ((2pix) / L) dx + 1 / Lint_ (0) ^ (L / 2) 2xsin ((pix) / L) sin ((2pix) / L) cos (3omega_1t) dx #

Za to ni trivialne rešitve … Izkazalo se je:

# = L / (4pi ^ 2) + L / 8 + (2L) / (3pi) - (8L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t) #

# = barva (modra) ((((2 + pi ^ 2) L) / (8pi ^ 2) + ((6pi-8) L) / (9pi ^ 2) cos (3omega_1t)) #

#f) #

At #x = L / 2 #, # sin # pogoji #sin (pi / 2) = 1 # in do #sin (pi) = 0 #v tem zaporedju.

Od #sin (pi) = 0 #, del, odvisen od časa #Psi ^ "*" Psi # izginila in časovno neodvisen del se ohrani # 1 / L # kot gostota verjetnosti.