Odgovor:
Spodaj
Pojasnilo:
Da bi pokazali, da je neenakost resnična, uporabite matematično indukcijo
# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtn> = sqrt2 (n-1) # za #n> 1 #
Korak 1: Dokaži resnično za # n = 2 #
LHS =# 1 + 1 / sqrt2 #
RHS =# sqrt2 (2-1) = sqrt2 #
Od # 1 + 1 / sqrt2> sqrt2 #, potem #LHS> RHS #. Zato velja za # n = 2 #
2. korak: Predpostavimo, da je res # n = k # kjer je k celo število in. t #k> 1 #
# 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk> = sqrt2 (k-1) # --- (1)
3. korak: Kdaj # n = k + 1 #,
RTP: # 1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)> = sqrt2 (k + 1-1) #
tj # 0> = sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #
RHS
=# sqrt2- (1 + 1 / sqrt2 + … + 1 / sqrtk + 1 / sqrt (k + 1)) #
#> = sqrt2- (sqrt2 (k-1) + 1 / sqrt (k + 1)) # iz predpostavke (1)
=# sqrt2-sqrt2 (k) + sqrt2-1 / sqrt (k + 1) #
=# 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) #
Od #k> 1 #, potem # -1 / sqrt (k + 1) <0 # in od takrat # ksqrt2> = 2sqrt2> 0 #, potem # 2sqrt2-ksqrt2 <0 # tako # 2sqrt2-sqrt2 (k) -1 / sqrt (k + 1) = <0 #
= LHS
4. korak: Z dokazovanjem matematične indukcije ta neenakost velja za vsa cela števila # n # večji kot #1#
Navedena neenakost je napačna.
Npr #n = 3 #:
#underbrace (1 + 1 / sqrt2 + 1 / sqrt3) _ (približno 2,3) prekliče (> =) underbrace (sqrt2 (3-1)) _ (približno 2,8) #
Protislovje.
