Kaj je int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx?

Odgovor:

#= 1/4#

Pojasnilo:

# int_1 ^ e (lnx) / (2x) dx #

# = int_1 ^ e d / dx (1/4 ln ^ 2x) dx #

# = 1/4 ln ^ 2x _1 ^ e #

# = 1/4 1 ^ 2 - 0 _1 ^ e = 1/4 #

Odgovor:

#1/4#

Pojasnilo:

To lahko naredimo na več načinov, tukaj sta dva. Prva je uporaba zamenjave:

#color (rdeča) ("metoda 1") #

# int_1 ^ e (ln (x)) / (2x) dx = 1/2 int_1 ^ e (ln (x)) / (x) dx #

Let #u = ln (x) pomeni du = (dx) / x #

Preoblikovanje omejitev:

#u = ln (x) pomeni u: 0 rarr 1 #

Integral postane:

# 1 / 2int_0 ^ 1 u du = 1/2 1 / 2u ^ 2 _0 ^ 1 = 1/2 * 1/2 = 1/4 #

To je enostavnejši način, vendar morda ne boste vedno sposobni zamenjati. Druga možnost je integracija po delih.

#color (rdeča) ("metoda 2") #

Uporabite integracijo po delih:

Za funkcije #u (x), v (x) #:

#int uv 'dx = uv - int u'v dx #

#u (x) = ln (x) pomeni u '(x) = 1 / x #

#v '(x) = 1 / (2x) pomeni v (x) = 1 / 2ln (x) #

#int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) - int (ln (x)) / (2x) dx #

Primeri skupin:

# 2 int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 2ln (x) ln (x) + C #

#tako int (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) + C #

Delamo pa z definitivnim integralom, torej z uporabo omejitev in odstranjevanjem konstante:

#int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1 / 4ln (x) ln (x) _ 1 ^ e #

# = 1 / 4ln (e) ln (e) - 1 / 4ln (1) ln (1) #

#ln (e) = 1, ln (1) = 0 #

#implies int_ (1) ^ (e) (ln (x)) / (2x) dx = 1/4 #