Ali je lahko funkcija neprekinjena in neločljiva na dani domeni ??

Odgovor:

Da.

Pojasnilo:

Eden od najbolj presenetljivih primerov tega je Weierstrassova funkcija, ki jo je odkril Karl Weierstrass, ki jo je v izvirnem dokumentu opredelil kot:

#sum_ (n = 0) ^ oo a ^ n cos (b ^ n pi x) #

kje # 0 <a <1 #, # b # je pozitivno celo število in. t #ab> (3pi + 2) / 2 #

To je zelo navihana funkcija, ki je povsod na realni liniji neprekinjena, vendar je nikjer neločljivo diferencirana.

Odgovor:

Da, če ima "ukrivljeno" točko. En primer je #f (x) = | x | # na # x_0 = 0 #

Pojasnilo:

Neprekinjeno delovanje praktično pomeni risanje, ne da bi vzeli svinčnik s papirja. Matematično, to pomeni, da za vse # x_0 # vrednosti. t #f (x_0) # ko se jim približamo z neskončno majhnimi # dx # levo in desno mora biti enako:

#lim_ (x-> x_0 ^ -) (f (x)) = lim_ (x-> x_0 ^ +) (f (x)) #

kjer znak minus pomeni približevanje z levega in plus znaka pomeni približevanje desno.

Funkcija diferenciacije praktično pomeni funkcijo, ki nenehno spreminja svoj nagib (NE s stalno hitrostjo). Funkcija, ki je v določeni točki nediferencirana, praktično pomeni, da naglo spremeni naklon levo od te točke v desno.

Poglejmo 2 funkciji.

#f (x) = x ^ 2 # na # x_0 = 2 #

Graf

graf {x ^ 2 -10, 10, -5,21, 5,21}

Graf (povečana)

graf {x ^ 2 0.282, 3.7, 3.073, 4.783}

Od takrat # x_0 = 2 # graf se lahko oblikuje, ne da bi s sabo odstranili svinčnik, funkcija je na tej točki neprekinjena. Ker na tej točki ni ukrivljen, je tudi razločljiv.

#g (x) = | x | # na # x_0 = 0 #

Graf

graf {absx -10, 10, -5.21, 5.21}

At # x_0 = 0 # funkcija je neprekinjena, saj jo lahko narišemo, ne da bi vzeli svinčnik s papirja. Ker pa se na tej točki upogiba, funkcija ni razločljiva.