Kako najdete mejo [(sin x) * (sin ^ 2 x)] / [1 - (cos x)], ko se x približa 0?

Odgovor:

Opravite nekaj konjugiranega množenja in ga poenostavite #lim_ (x-> 0) (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) = 0 #

Pojasnilo:

Neposredna nadomestitev ustvarja nedoločeno obliko #0/0#, zato bomo morali poskusiti nekaj drugega.

Poskusite pomnožiti # (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) # jo # (1 + cosx) / (1 + cosx) #:

# (sinx * sin ^ 2x) / (1-cosx) * (1 + cosx) / (1 + cosx) #

# = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / ((1-cosx) (1 + cosx)) #

# = (sinx * sin ^ 2x (1 + cosx)) / (1-cos ^ 2x) #

Ta tehnika je znana kot konjugirano množenje in deluje skoraj vsakič. Ideja je, da uporabite razliko kvadratov lastnine # (a-b) (a + b) = a ^ 2-b ^ 2 # poenostaviti števec ali imenovalec (v tem primeru imenovalec).

Spomnimo se tega # sin ^ 2x + cos ^ 2x = 1 #, ali # sin ^ 2x = 1-cos ^ 2x #. Zato lahko nadomestimo imenovalec, ki je # 1-cos ^ 2x #, s # sin ^ 2x #:

# ((sinx) (sin ^ 2x) (1 + cosx)) / (sin ^ 2x) #

Zdaj # sin ^ 2x # prekliče:

# ((sinx) (prekliči (sin ^ 2x)) (1 + cosx)) / (prekliči (sin ^ 2x)) #

# = (sinx) (1 + cosx) #

Končajte z omejitvijo tega izraza:

#lim_ (x-> 0) (sinx) (1 + cosx) #

# = lim_ (x-> 0) (sinx) lim_ (x-> 0) (1 + cosx) #

#=(0)(2)#

#=0#