Kakšno je območje enakostraničnega trikotnika, katerega tocke ležijo na krogu s polmerom 2?

Odgovor:

# 3 * sqrt (3) ~ = 5.196 #

Pojasnilo:

Glejte spodnjo sliko

Slika predstavlja enakostranični trikotnik, vpisan v krog, kjer # s # stoji za stranice trikotnika, # h # pomeni višino trikotnika in # R # pomeni polmer kroga.

Vidimo, da so trikotniki ABE, ACE in BCE kongruentni, zato lahko rečemo ta kot #E je C D = (klobuk C D) / 2 = 60 ^ @ / 2 = 30 ^ @ #.

Vidimo lahko #triangle_ (CDE) # to

#cos 30 ^ @ = (s / 2) / R # => # s = 2 * R * cos 30 ^ @ = prekliči (2) * R * sqrt (3) / prekliči (2) # => # s = sqrt (3) * R #

V #triangle_ (ACD) # tega ne moremo videti

#tan 60 ^ @ = h / (s / 2) # => # h = s * tan 60 ^ @ / 2 # => # h = sqrt (3) / 2 * s = sqrt (3) / 2 * sqrt (3) * R # => # h = (3R) / 2 #

Iz formule območja trikotnika:

# S_triangle = (osnova * višina) / 2 #

Dobimo

# S_triangle = (s * h) / 2 = (sqrt (3) R * (3R) / 2) / 2 = (3 * sqrt (3) * R ^ 2) / 4 = (3 * sqrt (3) * prekliči (2 ^ 2)) / prekliči (4) = 3 * sqrt (3) #