Naj bo N najmanjše celo število s 378 delitelji. Če je N = 2 ^ a xx 3 ^ b xx 5 ^ c xx 7 ^ d, kakšna je vrednost {a, b, c, d} v NN?

Odgovor:

# (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #

#N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19.051.200 #

Pojasnilo:

Glede na številko # n # s prime faktorizacijo #n = p_1 ^ (alpha_1) p_2 ^ (alpha_2) … p_k ^ (alpha_k) #, vsak delitelj # n # v obliki # p_1 ^ (beta_1) p_2 ^ (beta_2) … p_k ^ (beta_k) # kje #beta_i v {0, 1, …, alpha_i} #. Kakor so # alpha_i + 1 # izbire # beta_i #, število deliteljev # n # je podan z

# (alpha_1 + 1) (alpha_2 + 1) … (alpha_k + 1) = prod_ (i = 1) ^ k (alpha_i + 1) #

Kot # N = 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #, število deliteljev # N # je podan z # (a + 1) (b + 1) (c + 1) (d + 1) = 378 #. Naš cilj je torej najti # (a, b, c, d) # tako, da zgoraj navedeni proizvod drži in # 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d # je minimalen. Kot smo zmanjšali, bomo iz te točke nadaljevali #a> = b> = c> = d # (če se to ne bi zgodilo, bi lahko eksponente zamenjali, da bi dobili manjši rezultat z enakim številom deliteljev).

Opozarjam na to # 378 = 2xx3 ^ 3xx7 #, lahko preučimo možne primere, v katerih #378# je napisano kot produkt štirih celih števil # k_1, k_2, k_3, k_4 #. Te lahko pregledamo, da vidimo, za kaj je rezultat najmanj # N #.

Oblika: # (k_1, k_2, k_3, k_4) => (a, b, c, d) => 2 ^ axx3 ^ bxx5 ^ cxx7 ^ d #

# (2, 3, 3 ^ 2, 7) => (8, 6, 2, 1) => ~ 3.3xx10 ^ 7 #

# (2, 3, 3, 3 * 7) => (20, 2, 2, 1) => ~ 1.7xx10 ^ 9 #

#barva (rdeča) ((3, 3, 2 * 3, 7) => (6, 5, 2, 2) => ~ 1.9xx10 ^ 7) #

# (3, 3, 3, 2 * 7) => (13, 2, 2, 2) => ~ 9.0xx10 ^ 7 #

# (1, 3, 2 * 3 ^ 2, 7) => (17, 6, 2, 0) => ~ 2.4xx10 ^ 9 #

Tu se lahko ustavimo, saj bodo imeli še kakšni drugi primeri #k_i> = 27 #, daje # 2 ^ a> = 2 ^ 26 ~~ 6.7xx10 ^ 7 #, ki je že več kot naš najboljši primer.

Z zgoraj navedenim delom, potem # (a, b, c, d) # ki proizvaja minimalno # N # z #378# delitelji # (a, b, c, d) = (6, 5, 2, 2) #, daje #N = 2 ^ 6xx3 ^ 5xx5 ^ 2xx7 ^ 2 = 19.051.200 #