Kako rešiti 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?

Kako rešiti 2 × exp (x) + 2x-7 = 0?
Anonim

Odgovor:

To vprašanje lahko rešimo grafično.

Pojasnilo:

Podana enačba # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 # lahko ponovno napišete kot

# 2e ^ (x) = 7-2x #

Zdaj vzemite ta dva kot ločene funkcije

#f (x) = 2e ^ (x) # in #g (x) = 7-2x # in narišejo njihov graf; njihove presečišče bo rešitev enaki enačbi # 2e ^ (x) + 2x-7 = 0 #

To je prikazano spodaj: -

Odgovor:

Ta je onkraj srednješolske algebre in najboljši način, da jo rešimo, je vprašati Wolfram Alpha, ki odgovarja #x približno.94 #.

Pojasnilo:

Rešiti

# 2e ^ x + 2x -7 = 0 #

Vprašanja, kot so ta, so na splošno težka in odgovor je odvisen od tega, ali ste v srednji šoli ali v globini matematike.

Za srednjo šolo je najboljši pristop samo poskusiti nekaj majhnih številk in videti, če delajo. (To deluje za mnoge, mnoge srednješolske matematične probleme, fyi.) Resnično obstaja samo ena racionalna # x # to pomeni # e ^ x # racionalno, # x = 0 #, ki ni rešitev. Torej ugibanje tukaj ne bo delovalo.

Če je približek dovolj dober, ga lahko grafično prikažemo # 2e ^ x # in # 7-2x # in poglej, kje se srečajo.

Ne glede na vašo raven, ko se soočite s trdim, kot je ta, je ponavadi dobra poteza vprašati razpoložljivega strokovnjaka, ki je Wolfram Alpha.

Vidimo, da nam je Alpha podal približen odgovor, precej blizu 1, in celo formulo, ki uporablja W (x), ki ga Lambertov dnevnik produktov, ki običajno ni del matematike srednje šole.

Ni odgovora z uporabo rednih funkcij in operacij, ki jih poznamo v srednji šoli Algebra. To je običajno res, ko dodamo izraz z # x # v eksponentu do enega, kjer # x # se prikaže kot linearna ali višja moč.

To je konec odgovora za večino študentov. Ampak lahko gremo globlje. Dnevnik izdelka je zanimiva funkcija.Razmislite o enačbi

#k = xe ^ x #

Na desni strani je naraščajoča funkcija # x #, tako da bo prečkal # k # prej ali slej. Sprejemanje dnevnika nas ne pripelje nikamor: #ln k = ln x + x #.

Potrebujemo nekaj takega kot dnevnik, vendar ne tistega, ki je obratno # e ^ x #. Mora biti inverzna # xe ^ x #. To se imenuje Log izdelka ali Lambertova W funkcija, ki je definirana kot:

#k = xe ^ x # ima pravo rešitev #x = W (k) #.

Omejili bomo našo pozornost na reals. Zabavno je poskusiti odkriti # W '#s lastnosti. Temeljni, ki smo mu dani, je

#W (xe ^ x) = x #

Pustimo # x = vi ^ y # v nadaljevanju #W (x) = y #. Zdaj

# W (x) e ^ {W (x)} = y e ^ y = x #

To je kul. Kaj pa če

# e ^ {W (x)} = e ^ {y} = frac x y = frac {x} {W (x)} #

Zapisovanje dnevnikov, # W (x) = ln x - ln W (X) #

# ln W (x) = ln x - W (x) quad # predpostavlja se, da so dnevniki definirani

Zdaj, ko vidite, kako je delati z W, poglejte, ali ga lahko uporabite za rešitev enačbe ali za preverjanje rešitve Alpha

# x = 7/2 - W (e ^ (7/2)) #