Vprašanje # 92256

Odgovor:

Glej pojasnilo

Pojasnilo:

Razdelite to na dva dela, najprej na notranji del:

# e ^ x #

To je pozitivno in se povečuje za vsa realna števila in sega od 0 do # oo # kot # x # gre od # -oo # do # oo #

Imamo:

#arctan (u) #

Ima desno vodoravno asimptoto pri # y = pi / 2 #. Gremo od # u = 0 rarr oo #, at # u = 0 # ta funkcija je pozitivna in narašča nad to domeno, ima vrednost 0 at # u = 0 #, vrednost # pi / 4 # na # u = 1 # in vrednost # pi / 2 # na # u = oo #.

Te točke se zato potegnejo # x = -oo, 0, oo # in na koncu dobimo graf, ki je videti takole:

graf {arctan (e ^ x) -10, 10, -1,5, 3}

Kar je pozitivni del # arctan # Funkcija se razteza čez celotno realno črto, pri čemer se leva vrednost raztegne v vodoravno asimptotno vrednost # y = 0 #.

Odgovor:

Glej pojasnilo

Pojasnilo:

Domena je # RR #

Simetrija

Ne glede na. T # x # osi niti w.r.t izvora.

#arctan (e ^ (- x)) # ne poenostavlja #arctan (e ^ x) #

niti do # -arktan (e ^ x) #

Prestrezki

# x # intercepti: nič

Ne moremo dobiti #y = 0 # ker bi to zahtevalo # e ^ x = 0 #

Toda # e ^ x # nikoli ni #0#, samo se približuje #0# kot # xrarr-oo #.

Torej, # yrarr0 # kot # xrarr-oo # in # x # os osi vodoravna

asimptote na levi.

# y # prestrezanje: # pi / 4 #

Kdaj # x = 0 #, dobimo #y = arctan (1) = pi / 4 #

Asimptote:

Navpično: nič

# arctan # je med # -pi / 2 # in # pi / 2 # po definiciji tako nikoli ne gre # oo #

Vodoravno:

Levo: # y = 0 # kot je obravnavano zgoraj

Prav: # y = pi / 2 #

To vemo, kot # thetararrpi / 2 # z #theta <pi / 2 #, dobimo #tantheta rarr oo #

tako kot # xrarroo #, dobimo # e ^ x rarroo #, Torej # y = arctan (e ^ x) rarr pi / 2 #

Prvi derivat

#y '= e ^ x / (1 + e ^ (2x)) # nikoli ni #0# in nikoli nedefinirane, zato ni kritičnih številk.

Za vsakega # x # imamo #y '> 0 # tako se funkcija povečuje # (- oo, oo) #

Lokalnih ekstremov ni.

Drugi derivat

#y '' = (e ^ x (1 + e ^ (2x)) - e ^ x (2e ^ (2x)) / / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x + e ^ (3x) -2e ^ (3x)) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

# = (e ^ x (1-e ^ (2x))) / (1 + e ^ (2x)) ^ 2 #

#y '' # nikoli ni neopredeljeno in je #0# na # x = 0 #

Sign of #y '' #:

Vklop # (- oo, 0) #, dobimo # e ^ (2x) <1 # tako #y ''> 0 # in graf je konkavni navzgor

Vklop # (0, oo) #, dobimo # e ^ (2x)> 1 # tako #y '' <0 # in graf je konkavno navzdol

Konkavnost se spremeni pri # x = 0 #, zato je točka preloma:

# (0, pi / 4) #

Zdaj skiciraj graf