Razmerje med dvema pozitivnima realnima številkama je p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2): p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2) in potem najde njihovo razmerje AM in GM?

Odgovor:

# p / q #.

Pojasnilo:

Naj nos. biti #x in y, "where, x, y" v RR ^ + #.

S tem, kar je dano, #x: y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)):(p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

#:. x / (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = y / (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) = lambda, "reci" #.

#:. x = lambda (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) in y = lambda (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #.

Zdaj pa AM # A # od # x, y # je, # A = (x + y) / 2 = lambdap #, in njihove

GM # G = sqrt (xy) = sqrt lambda ^ 2 {p ^ 2 (p ^ 2-q ^ 2)} = lambdaq #.

Jasno je, # "želeno razmerje" = A / G = (lambdap) / (lambdaq) = p / q #.

Odgovor:

# p / q #

Pojasnilo:

V tem odgovoru bom uporabil isti zapis. Dejansko ni nobene resnične potrebe po tej rešitvi (saj je problem že precej lepo rešen) - le da ponazarja uporabo tehnike, ki jo zelo ljubim!

Glede na problem

# x / y = (p + sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) / (p-sqrt (p ^ 2-q ^ 2)) #

Z uporabo componendo in dividendo (to je najljubša tehnika, ki sem jo omenil zgoraj) dobimo

# (x + y) / (x-y) = p / sqrt (p ^ 2-q ^ 2) pomeni #

# ((x + y) / (x-y)) ^ 2 = p ^ 2 / (p ^ 2-q ^ 2) pomeni #

# (x + y) ^ 2 / ((x + y) ^ 2- (x-y) ^ 2) = p ^ 2 / (p ^ 2- (p ^ 2-q ^ 2)) pomeni #

# (x + y) ^ 2 / (4xy) = p ^ 2 / q ^ 2 pomeni #

# (x + y) / (2sqrt (xy)) = p / q #

• ki je zahtevano razmerje AM: GM.