Kaj je sqrt (3 + i) enako v obliki + bi?

Odgovor:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

Recimo # (a + bi) ^ 2 = 3 + i #

# (a + bi) ^ 2 = (a ^ 2-b ^ 2) + 2abi #

Tako izenačimo realne in imaginarne dele:

# a ^ 2-b ^ 2 = 3 #

# 2ab = 1 #

Zato #b = 1 / (2a) #, ki ga lahko nadomestimo s prvo enačbo:

# 3 = a ^ 2- (1 / (2a)) ^ 2 = a ^ 2-1 / (4a ^ 2) #

Pomnožite oba konca s # 4a ^ 2 # dobiti:

# 12 (a ^ 2) = 4 (a ^ 2) ^ 2-1 #

Torej:

# 4 (a ^ 2) ^ 2-12 (a ^ 2) -1 = 0 #

Iz kvadratne formule dobimo:

# a ^ 2 = (12 + -sqrt (12 ^ 2 + 16)) / 8 = (12 + -sqrt (160)) / 8 = (3 + -sqrt (10)) / 2 #

Od #sqrt (10)> 3 #, izberite možnost #+# znak za pridobitev realnih vrednosti za # a #:

#a = + -sqrt ((sqrt (10) +3) / 2) #

#b = + -sqrt (a ^ 2-3) = + -sqrt ((sqrt (10) -3) / 2) #

kje # b # ima isti znak kot # a # od #b = 1 / (2a) #

Glavni kvadratni koren je v Q1 s #a, b> 0 #

To je:

#sqrt (3 + i) = (sqrt ((sqrt (10) +3) / 2)) + (sqrt ((sqrt (10) -3) / 2)) i #

Pravzaprav, če #c, d> 0 # potem lahko podobno pokažemo:

#sqrt (c + di) = (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) + c) / 2)) + (sqrt ((sqrt (c ^ 2 + d ^ 2) -c) / 2)) jaz#