Če je f (x) = x tan ^ -1, potem je f (1) kaj?

Odgovor:

# f (1) # kje #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

Pojasnilo:

Predvidevam, da je vprašanje #f (1) # kje #f (x) = x arctan x #.

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 #

Običajno bi zdravil # arctan # kot večnamensko. Ampak tukaj z eksplicitno funkcijsko notacijo #f (x) # Rekel bom, da želimo glavno vrednost inverzne tangente. Kot s tangento 1 v prvem kvadrantu je # 45 ^ circ # ali # pi / 4 #:

#f (1) = (1) (arctan (1)) = arctan 1 = pi / 4 #

To je konec. Toda naj zastavimo vprašanje in se osredotočimo na kaj #arctan t # resnično pomeni.

Običajno se spomnim #tan ^ -1 (t) # ali enakovredno (in mislim, da je boljši zapis) #arctan (t) # kot večvredni izraz. "Funkcija" arctan v resnici ni funkcija, ker je inverzna nekaj periodičnega, ki dejansko ne more imeti inverzije na celotni domeni.

To je za študente in učitelje resnično zmedeno. Naenkrat imamo stvari, ki izgledajo kot funkcije, ki dejansko ne delujejo. Nekako so se spustili pod radar. Za ravnanje z njimi so potrebna nova pravila, ki pa nikoli niso izrecno navedena. Matematika začne postajati nejasna, ko ne.

# x = arctan t # najbolje razumemo kot rešitve #tan x = t. Obstaja precej neskončno število, eno na obdobje. Tangenta ima obdobje od # pi # tako so rešitve # pi # narazen, kjer je #pi k # prihaja iz, celo število # k #.

Običajno napišem glavno vrednost inverznega tangente kot Arctan s kapitalsko A. Na žalost ga Socratic "popravlja". Tukaj bom razkril:

#t = tan x # ima rešitve

#x = arctan t = besedilo {Arc} besedilo {tan} (t) + pi k quad # za celo število # k #.