Kaj je f (x) = int e ^ xcosx-tan ^ 3x + sinx dx, če f (pi / 6) = 1?

Odgovor:

# e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

Pojasnilo:

Začnemo z delitvijo integrala na tri:

#int e ^ xcos (x) dx-int je ^ 3 (x) dx + int sin (x) dx = #

# = int e ^ xcos (x) dx-int je ^ 3 (x) dx-cos (x) #

Levi integralni integralni 1 in desni integralni 2

Integral 1

Tukaj potrebujemo integracijo po delih in majhen trik. Formula za integracijo po delih je:

#int f (x) g '(x) dx = f (x) g (x) -int f' (x) g (x) dx #

V tem primeru bom pustil #f (x) = e ^ x # in #g '(x) = cos (x) #. To dobimo

#f '(x) = e ^ x # in #g (x) = sin (x) #.

Zaradi tega je naš integralni:

ex xcos (x) dx = e ^ xsin (x) -int e ^ xsin (x) dx # t

Zdaj lahko integracijo ponovno uporabimo po delih, tokrat z #g '(x) = sin (x) #:

#int e ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) - (- e ^ xcos (x) - (- int e ^ xcos (x) dx)) #

ex xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) -int e ^ xcos (x) t

Zdaj lahko dodamo integral na obe strani, pri čemer:

E ^ xcos (x) dx = e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x) #

eintos (x) dx = 1/2 (e ^ xsin (x) + e ^ xcos (x)) + C = #

# = e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) + C #

Integral 2

Najprej lahko uporabimo identiteto:

#tan (theta) = sin (theta) / cos (theta) #

To daje:

#int ^ ^ (x) dx = int ^ ^ (x) / cos ^ 3 (x) dx = int (sin (x) sin ^ 2 (x)) / cos ^ 3 (x) dx #

Zdaj lahko uporabimo identiteto pitagorejca:

# sin ^ 2 (theta) = 1-cos ^ 2 (theta) #

#int (sin (x) (1-cos ^ 2 (x))) / cos ^ 3 (x)

Zdaj lahko uvedemo u-zamenjavo z # u = cos (x) #. Nato delimo z izvedenim # -sin (x) # integracijo v zvezi z # u #:

# -int (prekliči (sin (x)) (1-cos ^ 2 (x))) / (prekliči (sin (x)) cos ^ 3 (x)) du = -int (1-u ^ 2) / u ^ 3 du = int u ^ 2 / u ^ 3-1 / u ^ 3 du = #

# = int 1 / u-1 / u ^ 3 du = ln | u | + 1 / (2u ^ 2) + C = ln | cos (x) | + 1 / (2cos ^ 2 (x)) + C #

Dokončanje prvotnega integrala

Zdaj, ko poznamo Integral 1 in Integral 2, jih lahko vključimo nazaj v prvotni integral in poenostavimo, da dobimo končni odgovor:

# e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + C #

Zdaj, ko poznamo antiderivativno, lahko rešimo za konstanto:

#f (pi / 6) = 1 #

# e ^ (pi / 6) / 2 (sin (pi / 6) + cos (pi / 6)) - ln | cos (pi / 6) | -1 / 2sec ^ 2 (pi / 6) -cos (pi / 6) + C = 1 #

# -2 / 3-sqrt (3) / 2 + 1/2 (1/2 + sqrt (3) / 2) e ^ (pi / 6) -ln (sqrt (3) / 2) + C = 1 #

# C = 1 + 2/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

# C = 5/3 + sqrt3 / 2- (1/4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #

To pomeni, da je naša funkcija:

# e ^ x / 2 (sin (x) + cos (x)) - ln | cos (x) | -1 / 2sec ^ 2 (x) -cos (x) + 5/3 + sqrt3 / 2- (1 / 4 + sqrt3 / 4) e ^ (pi / 6) + ln (sqrt3 / 2) #