Pokaži, da je int_0 ^ 1sinx / sqrt (x ^ 2 + 1) dx

Odgovor:

Glej pojasnilo

Pojasnilo:

Želimo se pokazati

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1

To je precej "grd" integral, tako da naš pristop ne bo rešil tega integrala, ampak ga primerjal z "lepšim" integralom

To smo zdaj za vse pozitivne realne številke #barva (rdeča) (sin (x) <= x) #

Torej bo vrednost integranga večja tudi za vse pozitivne realne številke, če jih nadomestimo # x = sin (x) #, če bomo lahko pokazali

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1

Tudi naša prva izjava mora biti resnična

Novi integral je preprost problem zamenjave

# int_0 ^ 1x / sqrt (x ^ 2 + 1) = sqrt (x ^ 2 + 1) _ 0 ^ 1 = sqrt (2) -1

Zadnji korak je, da to opazimo #sin (x) = x => x = 0 #

Zato lahko zaključimo

# int_0 ^ 1sin (x) / sqrt (x ^ 2 + 1) dx <sqrt (2) -1