Kako najdete Taylorjev polinom tretje stopnje za f (x) = ln x, centriran pri a = 2?

Odgovor:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.

Pojasnilo:

Splošna oblika Taylorjeve ekspanzije je bila osredotočena na # a # analitične funkcije # f # je #f (x) = sum_ {n = 0} ^ oof ((n)) (a) / (n!) (x-a) ^ n #. Tukaj #f ^ ((n)) # je n - ti derivat # f #.

Taylorjev polinom tretje stopnje je polinom, ki ga sestavljajo prvi štirje (# n # v območju od #0# do #3#) pogoji celotne Taylorjeve širitve.

Zato je ta polinom #f (a) + f '(a) (x-a) + (f' '(a)) / 2 (x-a) ^ 2 + (f' '' (a)) / 6 (x-a) ^ 3 #.

#f (x) = ln (x) #zato #f '(x) = 1 / x #, #f '' (x) = - 1 / x ^ 2 #, #f '' '(x) = 2 / x ^ 3 #. Torej je Taylorjev polinom tretje stopnje:

#ln (a) + 1 / a (x-a) -1 / (2a ^ 2) (x-a) ^ 2 + 1 / (3a ^ 3) (x-a) ^ 3 #.

Zdaj imamo # a = 2 #, zato imamo polinom:

#ln (2) +1/2 (x-2) -1/8 (x-2) ^ 2 + 1/24 (x-2) ^ 3 #.