Polinom stopnje 5, P (x) ima vodilni koeficient 1, ima korenine z dvojnostjo 2 pri x = 1 in x = 0 in koren mnogoterosti 1 pri x = -3, kako najdete možno formulo za P (x)?

Odgovor:

#P (x) = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 #

Pojasnilo:

Vsak koren ustreza linearnemu faktorju, tako da lahko pišemo:

#P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 3) #

# = x ^ 2 (x ^ 2-2x + 1) (x + 3) #

# = x ^ 5 + x ^ 4-5x ^ 3 + 3x ^ 2 #

Vsak polinom s temi ničlami in vsaj te večkratnosti bo večkratnik (skalarni ali polinom) tega #P (x) #

Opomba

Strogo rečeno, vrednost # x # rezultat #P (x) = 0 # se imenuje a root od #P (x) = 0 # ali a nič od #P (x) #. Torej bi vprašanje res moralo govoriti o ničle od #P (x) # ali o korenine od #P (x) = 0 #.

Polinom stopnje 4, P (x) ima koren večkratnosti 2 pri x = 3 in korenine množice 1 pri x = 0 in x = -3. Gre skozi točko (5,112). Kako najdete formulo za P (x)?

Polinom stopnje 4 bo imel korensko obliko: y = k (x-r_1) (x-r_2) (x-r_3) (x-r_4) Namesto v vrednosti za korenine in nato uporabite točko, da najdete vrednost od k. Zamenjajte vrednosti za korenine: y = k (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3)) Uporabite točko (5,112), da bi našli vrednost k: 112 = k (5-0) (5-3) (5-3) (5 - (- 3)) 112 = k (5) (2) (2) (8) k = 112 / ((5) (2) ( 2) (8)) k = 7/10 Koren iz polinoma je: y = 7/10 (x-0) (x-3) (x-3) (x - (- 3))

Polinom stopnje 5, P (x) ima vodilni koeficient 1, ima korenine mnogoterosti 2 pri x = 1 in x = 0 in koren množice 1 pri x = -1 Poišči možno formulo za P (x)?

P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Glede na to, da imamo pri x = 1 koren mnogoterosti 2, vemo, da ima P (x) faktor (x-1) ^ 2 Glede na to, da imamo pri x = 0 koren mnogoterosti 2, vemo, da ima P (x) faktor x ^ 2. Glede na to, da imamo pri x = -1 koren mnogoterosti 1, vemo, da je P (x) ima faktor x + 1 Glede na to, da je P (x) polinom stopnje 5, smo zato identificirali vseh pet korenov in faktorjev, tako da lahko zapišemo P (x) = 0 => x ^ 2 (x) -1) ^ 2 (x + 1) = 0 Torej lahko zapišemo P (x) = Ax ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1) Prav tako vemo, da je vodilni koeficient 1 => A = 1 Zato P (x) = x ^ 2 (x-1) ^ 2 (x + 1)

Polinom stopnje 5, P (x) ima vodilni koeficient 1, ima korenine mnogoterosti 2 pri x = 3 in x = 0 in koren mnogoterosti 1 pri x = -1?

P (x) = x ^ 5-5x ^ 4 + 3x ^ 3 + 9x ^ 2> "glede na" x = a "je koren polinoma, potem" (xa) "je faktor polinoma" "če" x = a "množine 2, potem" (xa) ^ 2 "je faktor polinoma" "tukaj" x = 0 "multiplicity 2" rArrx ^ 2 "je faktor" "tudi" x = 3 "multiplicity 2" rArr (x-3) ^ 2 "je faktor" "in" x = -1 "množina 1" rArr (x + 1) "je faktor" "polinom je produkt njegovih faktorjev" P (x) = x ^ 2 (x-3) ^ 2 (x + 1) barva (bela) (P (x)) = x ^ 2 (x ^ 2-6x + 9) (x + 1) barva (bela) (