Kako bi določili enačbo kroga, ki gre skozi točke D (-5, -5), E (-5,15), F (15,15)?

Odgovor:

Vsako točko zamenjajte z enačbo kroga, razvijete 3 enačbe in odstranite tiste, ki imajo vsaj eno koordinato skupno (# x # ali # y #).

Odgovor je:

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Pojasnilo:

Enačba kroga:

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

Kje #α# #β# so koordinate središča kroga.

Namestnik za vsako določeno točko:

Točka D

#(-5-α)^2+(-5-β)^2=ρ^2#

#(-(5+α))^2+(-(5+β))^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(5+β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+5^2+2*5β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2# (Enačba 1)

Točka E

#(-5-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#(5+α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#5^2+2*5α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2# (Enačba 2)

Točka F

#(15-α)^2+(15-β)^2=ρ^2#

#15^2-2*15α+α^2+15^2-2*15β+β^2=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2# (Enačba 3)

Substraktne enačbe #(1)-(2)#

#α^2+β^2+10α+10β+50=ρ^2#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#40β-200=0#

#β=200/40#

#β=5#

Substraktne enačbe #(2)-(3)#

#α^2+β^2+10α-30β+250=ρ^2#

#α^2+β^2-30α-30β+450=ρ^2#

#40α-200=0#

#α=200/40#

#α=5#

Zdaj ko #α# in #β# so znane, jih nadomestite v kateri koli točki (uporabili bomo točko #D (-5, -5) #):

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

#(-5-5)^2+(-5-5)^2=ρ^2#

#(-10)^2+(-10)^2=ρ^2#

#2(-10)^2=ρ^2#

#ρ^2=200#

Tako enačba kroga postane:

#α=5#

#β=5#

#ρ^2=200#

# (x-α) ^ 2 + (y-β) ^ 2 = ρ ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Odgovor:

Enačba kroga je # (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #

Pojasnilo:

Najprej moramo poiskati enačbo dveh vrstic, od katerih je vsaka pravokotna na segmente, ki jih tvori par danih točk in potekajo skozi sredino tega para točk.

Od točk D in E (# x_D = x_E = -5 #) so v vrstici, ki je vzporedna z osjo-Y (# x = 0 #) in točki E in F (# y_E = y_F = 15 #) so v vrstici, ki je vzporedna z osjo-X (# y = 0 #) je primerno izbrati te pare točk.

Enačba linije DE, kjer # x_D = x_E = -5 #

# x = -5 #

Enačba linije 1 pravokotno na DE in skozi sredino #M_ (DE) #

#M_ (DE) ((x_D + x_E) / 2, (y_D + y_E) / 2) # => #M_DE (-5, 5) #

vrstica 1# -> y = 5 #

Enačba črte EF, kjer # y_E = y_F = 15 #

# y = 15 #

Enačba linije 2 pravokotno na EF in skozi sredino #M_ (EF) #

#M_ (EF) ((x_E + x_F) / 2, (y_E + y_F) / 2) # => #M_EF (5,15) #

vrstica 2# -> x = 5 #

Združevanje enačb vrstic 1 in 2 (# y = 5 # in # x = 5 #) najdemo središče kroga, točko C

#C (5,5) #

Razdalja med točko C in katerokoli dano točko je enaka polmeru kroga

# R = d_ (CD) = sqrt ((- 5-5) ^ 2 + (- 5-5) ^ 2) = sqrt (100 + 100) = sqrt (200) #

V formuli enačbe kroga:

# (x-x_C) ^ 2 + (y-y_C) ^ 2 = R ^ 2 #

# (x-5) ^ 2 + (y-5) ^ 2 = 200 #