Kakšni so ekstremi in sedeži f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) na intervalu x, y v [-pi, pi]?

Odgovor:

Pojasnilo:

Imamo:

# f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) #

= -6sinxsin ^ 2y # t

Korak 2 - Opredelite kritične točke

Kritična točka se pojavi pri sočasni rešitvi. T

# f_x = f_y = 0 iff (delno f) / (delno x) = (delno f) / (delno y) = 0 #

torej, ko:

# {: (f_x = -6cosxsin ^ 2y, = 0, … A), (f_y = -6sinxsin2y, = 0, … B):}} # hkrati

Upoštevajte enačbo A

# -6cosxsin ^ 2y = 0 #

Potem imamo dve rešitvi:

# cosx = 0 => x = + - pi / 2 #

# sin y = 0 => y = 0, + - pi #

Zdaj uporabimo Eq B, da poiščemo ustrezno koordinato:

# x = + -pi / 2 => sin2y = 0 #

=> 2y = + -pi, + - 2pi => y = + - pi / 2, + -pi # t

# y = 0, + - pi => x v RR # (žlebovi)

Kar nam daje naslednje kritične točke:

# (+ -pi / 2, + -pi / 2) t (4 kritične točke)

# (+ -pi / 2, + -pi) t (4 kritične točke)

# (alfa, 0) A alfa v RR. t (linija žleba)

# (alpha, + -pi) AA alfa v RR t (2 žlebovi)

Upoštevajte enačbo B

# -6sinxsin2y = 0 #

Potem imamo dve rešitvi:

# sinx = 0 => x = 0, + - pi #

# sin2y = 0 => 2y = 0 + - pi, + -2pi #

=> y = 0, + -pi / 2, + - pi # t

Zdaj uporabimo Eq A, da poiščemo ustrezno koordinato @

# x = 0, + - pi => siny = 0 => y = 0, + - pi # (ponavlja zgoraj)

# y = 0 => x v RR # (ponovite zgoraj)

# y = + -pi / 2 => cosx = 0 #

=> x = + - pi / 2 # t (ponavlja zgoraj)

Kar nam ne daje dodatnih kritičnih točk:

3. korak - Razvrstite kritične točke

Da bi razvrstili kritične točke, opravimo test, podoben testu enega spremenljivega računa z uporabo drugih delnih derivatov in Hessian Matrix.

# Delta = H f (x, y) = | (f_ (x x) f_ (xy)), (f_ (yx) f_ (yy)) | = | ((delno ^ 2 f) / (delno x ^ 2), (delno ^ 2 f) / (delno x delno y)), ((delno ^ 2 f) / (delno y delno x), (delno ^ 2 f)) / (delno y ^ 2)) | = f_ (x x) f_ (yy) - (f_ (xy)) ^ 2 #

Potem odvisno od vrednosti # Delta #:

# {: (Delta> 0, "Največ je" f_ (xx) <0), (, "in minimum, če" f_ (xx)> 0), (Delta <0, "sedlo je točka")), (Delta = 0, "Potrebna je nadaljnja analiza"):} #

Z uporabo makrov po meri excel se vrednosti funkcij skupaj z delnimi vrednostmi izpeljanih vrednosti izračunajo na naslednji način:

Tukaj je zaplet funkcije

In ploit s kritičnimi točkami (in žlebovi)

Kakšni so ekstremi in sedeži f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Domena definicije: f (x) = 2x ^ 2lnx je interval x v (0, + oo). Ocenite prvi in drugi derivat funkcije: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Kritične točke so rešitve: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 in kot x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) V tej točki: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, tako da je kritična točka lokalni minimum. Sedežne točke so rešitve: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 in ker je f '' (x) monotono, lahko sklepamo, da f (x) ) je konkavna navzdol za x <1 / e ^

Kakšni so ekstremi in sedeži f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Ta funkcija nima stacionarnih točk (ali ste prepričani, da je f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x, ki ste jo želeli študirati ?!). Glede na najbolj razpršeno definicijo sedlastih točk (stacionarne točke, ki niso ekstremi) iščemo stacionarne točke funkcije v njeni domeni D = (x, y) v RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0) , y) v RR ^ 2}. Zdaj lahko prepišemo izraz, podan za f, na naslednji način: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Način, kako jih prepoznati, je iskanje točk, ki izničijo gradient f, ki je vektor delnih derivatov: nabla f = ((del f) / (del x), (del f) / (del y)) Ker je domena odprti niz, ni potrebno iskati z

Kakšni so ekstremi in sedeži f (x, y) = 6 sin x sin y na intervalu x, y v [-pi, pi]?

X = pi / 2 in y = pi x = pi / 2 in y = -pi x = -pi / 2 in y = pi x = -pi / 2 in y = -pi x = pi in y = pi / 2 x = pi in y = -pi / 2 x = -pi in y = pi / 2 x = -pi in y = -pi / 2 Da bi našli kritične točke funkcije 2-spremenljivke, morate izračunati gradient, ki je vektor, ki vsebuje derivate glede na vsako spremenljivko: (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) Torej imamo d / dx f (x, y) = 6cos (x) ) sin (y) in podobno d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y). Da bi našli kritične točke, mora biti gradient ničelni vektor (0,0), kar pomeni reševanje sistema {(6cos (x) sin (y) = 0), (6sin (x) cos (y) = 0):} ki seveda lahko poenostavimo o