Vrstica (k-2) y = 3x ustreza krivulji xy = 1 -x na dveh ločenih točkah, poiščemo množico vrednosti k. Navedite tudi vrednosti k, če je črta tangenta na krivuljo. Kako ga najti?

enačbo črte lahko zapišemo kot

# ((k-2) y) / 3 = x #

Nadomestitev vrednosti x v enačbo krivulje, # (((k-2) y) / 3) y = 1 - ((k-2) y) / 3 #

let # k-2 = a #

# (y ^ 2a) / 3 = (3-ya) / 3 #

# y ^ 2a + ya-3 = 0 #

Ker se črta seka v dveh različnih točkah, mora biti diskriminant zgornje enačbe večja od nič.

#D = a ^ 2-4 (-3) (a)> 0 #

#a a + 12> 0 #

Območje # a # izhaja, da je, #a v (-oo, -12) uu (0, oo) #

zato, # (k-2) v (-oo, -12) uu (2, oo) #

Dodajanje 2 na obe strani, #k v (-oo, -10), (2, oo) #

Če mora biti črta tangenta, mora biti diskriminantna nič, ker se le na eni točki dotakne krivulje, #a a + 12 = 0 #

# (k-2) k-2 + 12 = 0 #

Torej, vrednosti # k # so #2# in #-10#

Naj bo f (x) = x ^ 2 + Kx in g (x) = x + K. Grafi f in g se sekata na dveh ločenih točkah. Poišči vrednost K?

Da se grafi f (x) in g (x) sekata na dveh ločenih točkah, moramo imeti k! = - 1 As f (x) = x ^ 2 + kx in g (x) = x + k in sekajo kjer je f (x) = g (x) ali x ^ 2 + kx = x + k ali x ^ 2 + kx-xk = 0 Ker ima to dve ločeni rešitvi, mora biti diskriminantna kvadratna enačba večja od 0, tj. -1) ^ 2-4xx (-k)> 0 ali (k-1) ^ 2 + 4k> 0 ali (k + 1) ^ 2> 0 As (k + 1) ^ 2 je vedno večji od 0, razen kadar k = -1 Zato, da se grafi f (x) in g (x) sekata na dveh ločenih točkah, moramo imeti k! = - 1

Kako najdete vse točke na krivulji x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7, kjer je tangentna črta vzporedna z osjo x, in točka, kjer je tangentna črta vzporedna z y-osjo?

Tangentna črta je vzporedna osi x, kadar je naklon (torej dy / dx) enak nič in je vzporeden z osjo y, ko se nagib (spet dy / dx) premakne na oo ali -oo Začnemo z iskanjem dy / dx: x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 d / dx (x ^ 2 + xy + y ^ 2) = d / dx (7) 2x + 1y + xdy / dx + 2y dy / dx = 0 dy / dx = - (2x + y) / (x + 2y) Zdaj, dy / dx = 0, ko je nuimerator 0, pod pogojem, da to ne pomeni tudi imenovalca 0. 2x + y = 0, ko y = -2x Zdaj imamo dve enačbi: x ^ 2 + xy + y ^ 2 = 7 y = -2x Reši (z zamenjavo) x ^ 2 + x (-2x) + (-2x) ^ 2 = 7 x ^ 2 -2x ^ 2 + 4x ^ 2 = 7 3x ^ 2 = 7 x = + - sqrt (7/3) = + - sqrt21 / 3 Uporaba y = -2x, dobimo Tange

Krivulja je definirana s parametrično eqn x = t ^ 2 + t - 1 in y = 2t ^ 2 - t + 2 za vse t. i) kažejo, da A (-1, 5_ leži na krivulji. ii) najdete dy / dx. iii) poiščemo enačbo tangente na krivuljo pri pt. A. ?

Imamo parametrično enačbo {(x = t ^ 2 + t-1), (y = 2t ^ 2-t + 2):}. Če želimo pokazati, da (-1,5) leži na zgornji krivulji, moramo pokazati, da obstaja nekaj t_A tako, da je pri t = t_A, x = -1, y = 5. Torej, {(-1 = t_A ^ 2 + t_A-1), (5 = 2t_A ^ 2-t_A + 2):}. Reševanje zgornje enačbe razkriva, da je t_A = 0 ali t Reševanje dna razkriva, da je t_A = 3/2 ali "-1". Potem, pri t = -1, x = -1, y = 5; in zato (-1,5) leži na krivulji. Da bi našli naklon pri A = (- 1,5), najprej najdemo ("d" y) / ("d" x). Po pravilu verige ("d" y) / ("d" x) = ("d" y) / ("d" t) *