Kaj so ekstremi f (x) = 3x-1 / sinx na [pi / 2, (3pi) / 4]?

Odgovor:

Absolutni minimum na domeni se pojavi pri pribl. # (pi / 2, 3.7124) #, in absolutna max na domeni nastopi pri pribl. # (3pi / 4, 5.6544) #. Lokalnih ekstremov ni.

Pojasnilo:

Preden začnemo, je potrebno, da analiziramo in vidimo, če #sin x # prevzame vrednost #0# na kateri koli točki intervala. #sin x # je nič za vse x, tako da #x = npi #. # pi / 2 # in # 3pi / 4 # oba sta manj # pi # in večji od # 0pi = 0 #; tako, #sin x # ne prevzame vrednosti nič.

Da bi to ugotovili, se spomnite, da se v ekstremnih okoliščinah pojavi kje #f '(x) = 0 # (kritične točke) ali na eni od končnih točk. S tem v mislih vzamemo derivat zgornjega f (x) in poiščemo točke, kjer je ta izpeljava enaka 0

# (df) / dx = d / dx (3x) - d / dx (1 / sin x) = 3 - d / dx (1 / sinx) #

Kako naj rešimo ta zadnji mandat?

Na kratko razmislite vzajemno pravilo, ki je bila razvita za obravnavanje situacij, kot je naš zadnji mandat tukaj, # d / (dx) (1 / sin x) #. Vzajemno pravilo nam omogoča, da obvozimo neposredno uporabo verige ali pravila količnika tako, da navedemo, da je funkcija, ki jo je mogoče razlikovati #g (x) #:

# d / dx 1 / g (x) = (-g '(x)) / ((g (x)) ^ 2 #

kdaj #g (x)! = 0 #

Če se vrnemo k naši glavni enačbi, smo jo prekinili;

# 3 - d / dx (1 / sin x) #.

Od #sin (x) # je različno, lahko uporabimo recipročno pravilo tukaj:

# 3 - d / dx (1 / sin x) = 3 - (-cos x) / sin ^ 2x #

Če nastavimo to vrednost na 0, pridemo do:

# 3 + cos x / sin ^ 2x = 0. #

Do tega lahko pride šele, ko #cos x / sin ^ 2 x = -3.. Od tu nas lahko zahteva, da uporabimo eno od trigonometričnih definicij, natančneje # sin ^ 2x = 1 - cos ^ 2 x #

# cosx / sin ^ 2x = -3 => cosx / (1-cos ^ 2x) = -3 => cos x = -3 + 3cos ^ 2x => 3cos ^ 2x - cos x - 3 = 0 #

To spominja na polinom, z #cos x # namesto tradicionalnega x. Zato izjavljamo #cos x = u # in …

# 3u ^ 2 - u - 3 = 0 = au ^ 2 + bu + c #. Z uporabo kvadratne formule tukaj …

# (1 + - sqrt (1 - 4 (-9))) / 6 = (1 + - sqrt 37) / 6 #

Naše korenine se pojavijo pri #u = (1 + -sqrt37) / 6 # glede na to. Vendar pa je ena od teh korenin (# (1 + sqrt37) / 6 #) ne more biti koren za #cos x # ker je koren večji od 1, in # -1 <= cosx <= 1 # za vse x. Po drugi strani pa naš drugi koren izračuna kot približno #-.847127#. Vendar pa je to manjša od najmanjše vrednosti #cos x # Funkcija lahko na intervalu (od #cos (3pi / 4) = -1 / sqrt 2) = -.707 <-.847127 #. Tako v domeni ni kritične točke.

Ob upoštevanju tega se moramo vrniti na naše končne točke in jih postaviti v prvotno funkcijo. S tem dobimo #f (pi / 2) približno 3.7124, f (3pi / 4) približno 5.6544 #

Naš absolutni minimum na domeni je tako približno # (pi / 2, 3.7124), # in naš maksimum je približno # (3pi / 4, 5.6544) #