Katere so vrednosti m, za katere enačba x (x-1) (x-2) (x-3) = m ima vse korenine realnih števil?

Odgovor:

#m le (5/4) ^ 2-1 #

Pojasnilo:

To imamo #x (x - 1) (x - 2) (x - 3) - m = x ^ 4-6x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m #

Zdaj pa

# x ^ 4-6x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m = (x-a) ^ 4 + b (x-a) ^ 2 + c # in enačenje koeficientov, ki jih dobimo

# {(a ^ 4 + a ^ 2 b + c + m = 0), (4 a ^ 3 + 2 a b-6 = 0), (11 - 6 a ^ 2 - b = 0), (4 a -6 = 0):} #

Reševanje za # a, b, c # dobimo

# a = 3/2, b = -5 / 2, c = 1/16 (9-16 m) # ali

# x ^ 4-6x ^ 3 + 11x ^ 2-6x-m = (x-3/2) ^ 4-5 / 2 (x-3/2) ^ 2 + 1/16 (9-16 m) = 0 #

Reševanje te enačbe za # x # dobimo

#x = 1/2 (3 pm sqrt (5 pm 4sqrt (m + 1))) #

Te korenine so resnične, če # 5 pm 4sqrt (m + 1) ge 0 # ali

#m le (5/4) ^ 2-1 #