Kako najdete ekstreme za g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)?

Odgovor:

#g (x) # nima največjega in globalnega in lokalnega minimuma v # x = -1 #

Pojasnilo:

Upoštevajte, da:

# (1) "" x ^ 2 + 2x + 5 = x ^ 2 + 2x + 1 + 4 = (x + 1) ^ 2 + 4> 0 #

Torej je funkcija

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #

je definiran za vsakega #x v RR #.

Poleg tega kot #f (y) = sqrty # je monotono naraščajoča funkcija, potem pa vsak ekstrem za #g (x) # je tudi ekstrem za:

#f (x) = x ^ 2 + 2x + 5 #

Toda to je polinom drugega reda z vodilnim pozitivnim koeficientom, zato nima maksimuma in enega lokalnega minimuma.

Od #(1)# z lahkoto lahko vidimo, da:

# (x + 1) ^ 2> = 0 #

in:

# x + 1 = 0 #

šele ko # x = -1 #, potem:

#f (x)> = 4 #

in

#f (x) = 4 #

samo za # x = -1 #.

Posledično:

#g (x)> = 2 #

in:

#g (x) = 2 #

samo za # x = -1 #.

To lahko zaključimo #g (x) # nima največjega in globalnega in lokalnega minimuma v # x = -1 #

#g (x) = sqrt (x ^ 2 + 2x + 5) #, # x ## v ## RR #

Potrebujemo # x ^ 2 + 2x + 5> = 0 #

#Δ=2^2-4*1*5=-16<0#

# D_g = RR #

# AA ## x ## v ## RR #:

#g '(x) = ((x ^ 2 + 2x + 5)') / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (2x + 2) / (2sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)) # #=#

# (x + 1) / (sqrt (x ^ 2 + 2x + 5)> 0) #

#g '(x) = 0 # #<=># # (x = -1) #

• Za #x <-1 # imamo #g '(x) <0 # tako # g # se strogo zmanjšuje. t # (- oo, -1 #

• Za #x> ##-1# imamo #g '(x)> 0 # tako # g # strogo narašča. t # - 1, + oo) #

Zato #g (x)> = g (-1) = 2> 0 #, # AA ## x ## v ## RR #

Kot rezultat # g # ima globalni minimum pri # x_0 = -1 #, #g (-1) = 2 #