Kaj pomeni teorem vmesne vrednosti?

Odgovor:

To pomeni, da je a neprekinjena funkcija (v intervalu # A #) ima dve različni vrednosti #f (a) # in #f (b) # (# a, b v A # seveda), potem bo vse vrednosti med njimi #f (a) # in #f (b) #.

Pojasnilo:

Da bi si ga bolje zapomnili ali razumeli, se zavedajte, da besednjak iz matematike uporablja veliko slik.Na primer, popolnoma si lahko predstavljate povečano funkcijo! Enako je tukaj, z vmesnim si lahko predstavljate nekaj med dvema drugim stvarmama, če veste, kaj mislim. Ne oklevajte in zastavljajte vprašanja, če ni jasno!

Odgovor:

Lahko bi rekli, da v bistvu pravi, da realne številke nimajo vrzeli.

Pojasnilo:

Izrek vmesne vrednosti določa, da če #f (x) # je realno vrednotena funkcija, ki je kontinuirana v intervalu # a, b # in # y # je vrednost med #f (a) # in #f (b) # potem je nekaj #x v a, b # tako, da #f (x) = y #.

Zlasti izrek Bolzana pravi, da če #f (x) # je realno vrednotena funkcija, ki je kontinuirana na intervalu # a, b # in #f (a) # in #f (b) # so različni znaki, potem jih je nekaj #x v a, b # tako, da #f (x) = 0 #.

#color (bela) () #

Upoštevajte funkcijo #f (x) = x ^ 2-2 # in interval #0, 2#.

To je realno vrednotena funkcija, ki je neprekinjeno na intervalu (dejansko povsod nenehna).

To smo našli #f (0) = -2 # in #f (2) = 2 #, tako da je izrek o vmesni vrednosti (ali bolj specifična Bolzanova teorema) nekaj vrednosti #x v 0, 2 # tako, da #f (x) = 0 #.

Ta vrednost # x # je #sqrt (2) #.

Torej, če bi razmišljali #f (x) # kot racionalno vrednotena funkcija racionalnih števil, potem vmesni vrednostni izrek ne bi imel, saj #sqrt (2) # ni racionalno, zato ni v racionalnem intervalu # 0, 2 nn QQ #. Povedano drugače, racionalne številke # QQ # imajo vrzel #sqrt (2) #.

#color (bela) () #

Velika stvar je, da vmesni vrednostni izrek velja za katero koli kontinuirano realno vrednoteno funkcijo. To pomeni, da v realnih številkah ni vrzeli.