Kaj je kvadratni koren 89?

Odgovor:

Kvadratni koren iz #89# je število, ki pri kvadratu daje #89#.

#sqrt (89) ~~ 9.434 #

Pojasnilo:

Od #89# je prvovrsten, #sqrt (89) # ni mogoče poenostaviti.

Lahko ga približate z uporabo metode Newton Raphson.

Želim ga nekoliko preoblikovati, kot sledi:

Let #n = 89 # je številka, ki jo želite kvadratni koren iz.

Izberite # p_0 = 19 #, # q_0 = 2 # tako da # p_0 / q_0 # razumen racionalni približek. Od takrat sem izbral te posebne vrednote #89# je približno na pol poti #9^2 = 81# in #10^2 = 100#.

Ponovite uporabo formul:

#p_ (i + 1) = p_i ^ 2 + n q_i ^ 2 #

#q_ (i + 1) = 2 p_i q_i #

To bo dalo boljši racionalni približek.

Torej:

# p_1 = p_0 ^ 2 + n q_0 ^ 2 = 19 ^ 2 + 89 * 2 ^ 2 = 361 + 356 = 717 #

# q_1 = 2 p_0 q_0 = 2 * 19 * 2 = 76 #

Če se bomo ustavili tukaj, bomo dobili približek:

#sqrt (89) ~~ 717/76 ~~ 9.434 #

Še en korak:

# p_2 = p_1 ^ 2 + n q_1 ^ 2 = 717 ^ 2 + 89 * 76 ^ 2 = 514089 + 514064 = 1028153 #

# q_2 = 2 p_1 q_1 = 2 * 717 * 76 = 108984 #

Tako dobimo približek:

#sqrt (89) ~~ 1028153/108984 ~~ 9.43398113 #

Ta metoda Newton Raphson hitro konvergira.

#color (bela) () #

Pravzaprav za dokaj dober približek #sqrt (89) # je #500/53#, od #500^2 = 250000# in #89 * 53^2 = 250001#

#sqrt (89) ~~ 500/53 ~~ 9.43396 #

Če za to uporabimo en korak ponovitve, dobimo boljši približek:

#sqrt (89) ~~ 500001/53000 ~~ 9.4339811321 #

#color (bela) () #

Opomba

Vsi kvadratni koreni pozitivnih celih števil ponavljajo nadaljnje razširitve frakcij, ki jih lahko uporabite tudi za racionalne približke.

Vendar v primeru. T #sqrt (89) # nadaljnja razširitev frakcije je malo grda, tako da ni tako lepo delati z:

#sqrt (89) = 9; bar (2, 3, 3, 2, 18) = 9 + 1 / (2 + 1 / (3 + 1 / (3 + 1 / (2 + 1 / (18 + 1 / (2 + 1 / (3) + …))))))) #

Približek #500/53# zgoraj je #9; 2, 3, 3, 2#