Odgovor:
Oglejte si razlago …
Pojasnilo:
Če # p = q = r # potem:
# px ^ 2 + qx + r = qx ^ 2 + rx + p #
Torej bodo vse ničle, ki jih imajo, skupne.
Upoštevajte, da ti pogoji niso potrebni.
Na primer, če # p = 0 #, #q! = 0 # in #r! = 0 # potem:
# px ^ 2 + qx + r = 0 # ima koren # x = -r / q #
# qx ^ 2 + rx + p = 0 # ima korenine # x = -r / q # in # x = 0 #
Tako imata obe enačbi skupno korenino, vendar #p! = q # in ne zahtevamo # p + q + r = 0 #.
Odgovor:
Glej spodaj.
Pojasnilo:
Kot # px ^ 2 + qx + r = 0 # in # qx ^ 2 + rx + p = 0 # imajo skupnega korena, naj bo ta koren # alfa #. Potem pa
# palfa ^ 2 + qalpha + r = 0 # in # qalpha ^ 2 + ralpha + p = 0 #
in zato # alfa ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alfa / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
in # alpha = (qr-p ^ 2) / (pr-q ^ 2) # in # alfa ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
t.j. # (qr-p ^ 2) ^ 2 / (pr-q ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) / (pr-q ^ 2) #
ali # (qr-p ^ 2) ^ 2 = (pq-r ^ 2) (pr-q ^ 2) #
ali # q ^ 2r ^ 2 + p ^ 4-2p ^ 2qr = p ^ 2qr-pq ^ 3-pr ^ 3 + q ^ 2r ^ 2 #
ali # p ^ 4 + pq ^ 3 + pr ^ 3-3p ^ 2qr = 0 # in delitev s # p #
ali # p ^ 3 + q ^ 3 + r ^ 3-3pqr = 0 #
t.j. # (p + q + r) (p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) = 0 #
Zato tudi # p + q + r = 0 # ali # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #
Opazujte to kot # alfa ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alfa / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) #
# alfa ^ 2 / (pq-r ^ 2) = alfa / (qr-p ^ 2) = 1 / (pr-q ^ 2) = (alfa ^ 2 + alfa + 1) / (p ^ 2 + q ^) 2 + r ^ 2-pq-qr-rp) #
in če # p ^ 2 + q ^ 2 + r ^ 2-pq-qr-rp = 0 #, imamo # alfa ^ 2 + alfa + 1 = 0 # t.j. # p = q = r #
