Kaj je lim_ (xrarr1 ^ +) x ^ (1 / (1-x)) kot x se približuje 1 z desne strani?

# 1 / e #

# x ^ (1 / (1-x)) #:

graf {x ^ (1 / (1-x)) -2.064, 4.095, -1.338, 1.74}

No, to bi bilo veliko lažje, če bi preprosto vzeli # ln # obeh strani. Od # x ^ (1 / (1-x)) # je neprekinjeno v odprtem intervalu desno od #1#, lahko rečemo, da:

#ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln (x ^ (1 / (1-x))) #

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) ln x / (1-x) #

Od #ln (1) = 0 # in #(1 - 1) = 0#, gre za obliko #0/0# velja pravilo L'Hopital:

# = lim_ (x-> 1 ^ (+)) (1 "/" x) / (- 1) #

In seveda, # 1 / x # je neprekinjeno z vsake strani #x = 1 #.

# => ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x)) = -1 #

Zato je prvotna omejitev:

#color (modra) (lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) = "exp" (ln lim_ (x-> 1 ^ (+)) x ^ (1 / (1-x))) #

# = e ^ (- 1) #

# = barva (modra) (1 / e) #