Število načinov delitve 52 kart med štirimi igralci, tako da imajo trije igralci po 17 kart in četrti igralec ostane le z eno kartico?

Odgovor:

# (((52), (17)) ((35), (17)) ((18), (17)) ((1), (1))) / 6 ~~ 2.99xx10 ^ 23 # načinov

Pojasnilo:

Najprej poglejmo, da je to problem kombinacij - ne zanima se vrstni red, po katerem se kartice razdeljujejo:

#C_ (n, k) = ((n), (k)) = (n!) / ((K!) (N-k)!) # z # n = "populacija", k = "izbira" #

Eden od načinov za to je, da vidimo, da bomo za prvo osebo izbrali 17 od 52 kart:

#((52),(17))#

Za drugo osebo bomo izbrali 17 kart iz preostalih 35 kart:

#((52),(17))((37),(17))#

in lahko naredimo isto za naslednjega igralca:

#((52),(17))((35),(17))((18),(17))#

in lahko vnesemo tudi zadnji izraz za zadnjega igralca:

#((52),(17))((35),(17))((18),(17))((1),(1))#

In zdaj za zadnji del - nastavili smo to tako, da je določena prva oseba, potem druga oseba, nato tretja oseba, potem zadnja oseba - kar bi lahko bilo v redu, ampak prvo osebo obravnavamo drugače kot drugo. in ta dva se razlikujeta od tretjega, čeprav naj bi bila po metodi risanja enaka. Naredili smo pomemben red in naročilo je koncept permutacije (glej spodaj za več o tem).

Ne želimo, da bi bilo naročilo pomembno in zato moramo deliti s številom načinov, kako lahko uredimo tri ljudi - kar je #3! = 6#

Vse to daje:

# (((52), (17)) ((35), (17)) ((18), (17)) ((1), (1))) / 6 ~~ 2.99xx10 ^ 23 # načinov

~~~~~

Oglejmo si veliko manjši primer, da si opombo ogledamo po naročilu. Vzemimo 5 predmetov in jih razdeli med 3 ljudi: 2 osebi dobita po 2 elementa in zadnja oseba dobi preostali predmet. Izračunamo na enak način kot zgoraj:

# ((5), (2)) ((3), (2)) ((1), (1)) = 10xx3xx1 = 30 # načinov

Ampak, če jih dejansko preštejemo:

A, BC, DE

A, BD, CE

A, BE, CD

B, AC, DE

B, AD, CE

B, AE, CD

C, AB, DE

C, AD, BE

C, AE, BD

D, AB, CE

D, AC, BE

D, AE, BC

E, AB, CD

E, AC, BD

E, AD, BC

Zakaj? V izračunu smo naredili dokončno prvo osebo in drugo osebo (izbiramo med 5, naslednjo izberemo iz 3) in tako smo izdelali naročilo. Z delitvijo na število ljudi, ki naj bi bili enaki, vendar ne v izračunu, razdelimo vrstni red ali število ljudi, ki naj bi bili enaki, a niso faktorski. V tem primeru je to število 2 in tako #2! = 2#, ki daje:

#30/2=15# kar je pravilen odgovor