Odgovor:
# {: ("Kritična točka", "Zaključek"), ((0,0,0), "sedlo"):} #
Pojasnilo:
Teorija za identifikacijo ekstremov
- Rešite hkrati kritične enačbe
# (delno f) / (delno x) = (delno f) / (delno y) = 0 t (tj# f_x = f_y = 0 # ) - Ocenite
#f_ (x x), f_ (yy) in f_ (xy) (= f_ (yx)) # na vsaki od teh kritičnih točk. Zato ovrednotite# Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 # na vsaki od teh točk - Določite naravo ekstremov;
# {: (Delta> 0, "Najmanjši je" f_ (xx) <0), (, "in maksimum, če" f_ (yy)> 0), (Delta <0, "sedlo je točka")), (Delta = 0, "Potrebna je nadaljnja analiza"):} #
Torej imamo:
# f (x, y) = xy (e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2)) #
# "" = xye ^ (y ^ 2) - xye ^ (x ^ 2) #
Najdemo prve delne derivate:
# (delno f) / (delno x) = vi ^ (y ^ 2) + {(-xy) (2xe ^ (x ^ 2)) + (-y) (e ^ (x ^ 2))} #
= vi ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) # t
# (delno f) / (delno y) = {(xy) (2ye ^ (y ^ 2)) + (x) (e ^ (y ^ 2))} - xe ^ (x ^ 2) #
= 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) #
Zato so naše kritične enačbe:
# vi ^ (y ^ 2) -2x ^ 2ye ^ (x ^ 2) -ye ^ (x ^ 2) = 0 => y (e ^ (y ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #
# 2xy ^ 2e ^ (y ^ 2) + xe ^ (y ^ 2) - xe ^ (x ^ 2) = 0 => x (2y ^ 2e ^ (y ^ 2) + e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2)) = 0 #
Iz teh enačb imamo:
# y = 0 # ali# e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) = 2x ^ 2e ^ (x ^ 2) #
# x = 0 # ali# e ^ (y ^ 2) - e ^ (x ^ 2) = -2y ^ 2e ^ (y ^ 2) #
In edina sočasna rešitev je
In tako smo eno kritično točko izvora
Zdaj pa si poglejmo druge delne derivate, da lahko določimo naravo kritične točke (te rezultate bom samo citiral):
(delno ^ 2f) / (delno x ^ 2) = -4x ^ 3ye ^ (x ^ 2) -6xye ^ (x ^ 2) #
(delno ^ 2f) / (delno y ^ 2) = 4xy ^ 3e ^ (y ^ 2) + 6xye ^ (y ^ 2) #
# (delno ^ 2f) / (delno x delno y) = e ^ (y ^ 2) -e ^ (x ^ 2) -2x ^ 2e ^ (x ^ 2) + 2y ^ 2e ^ (y ^ 2) (= (delno ^ 2f) / (delno y delno x)) #
Izračunati moramo:
# Delta = (delno ^ 2f) / (delno x ^ 2) (delno ^ 2f) / (delno y ^ 2) - ((delno ^ 2f) / (delno x delno y)) ^ 2 #
na vsaki kritični točki. Vrednosti drugega delnega izpeljaka,
# {: ("Kritična točka", (delno ^ 2f) / (delno x ^ 2), (delno ^ 2f) / (delno y ^ 2), (delno ^ 2f) / (delno x delno y), Delta, "Zaključek"), ((0,0,0), 0,0,0, = 0, "incluclusive"):} #
Torej je po vsem tem delu precej razočarljivo, da dobimo vključujoč rezultat, če pa preučimo vedenje okoli kritične točke, lahko takoj ugotovimo, da je to sedlo.
Te kritične točke lahko vidimo, če pogledamo 3D ploskev:
Kakšni so ekstremi in sedeži f (x) = 2x ^ 2 lnx?
Domena definicije: f (x) = 2x ^ 2lnx je interval x v (0, + oo). Ocenite prvi in drugi derivat funkcije: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Kritične točke so rešitve: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 in kot x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) V tej točki: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, tako da je kritična točka lokalni minimum. Sedežne točke so rešitve: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 in ker je f '' (x) monotono, lahko sklepamo, da f (x) ) je konkavna navzdol za x <1 / e ^
Kakšni so ekstremi in sedeži f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?
Ta funkcija nima stacionarnih točk (ali ste prepričani, da je f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x, ki ste jo želeli študirati ?!). Glede na najbolj razpršeno definicijo sedlastih točk (stacionarne točke, ki niso ekstremi) iščemo stacionarne točke funkcije v njeni domeni D = (x, y) v RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0) , y) v RR ^ 2}. Zdaj lahko prepišemo izraz, podan za f, na naslednji način: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Način, kako jih prepoznati, je iskanje točk, ki izničijo gradient f, ki je vektor delnih derivatov: nabla f = ((del f) / (del x), (del f) / (del y)) Ker je domena odprti niz, ni potrebno iskati z
Kakšni so ekstremi in sedeži f (x, y) = 2x ^ 3 + xy ^ 2 + 5x ^ 2 + y ^ 2?
{: ("Kritična točka", "Zaključek"), ((0,0), "min"), ((-1, -2), "sedlo"), ((-1,2), "sedlo" ), ((-5 / 3,0), "max"): Teorija za identifikacijo ekstremov z = f (x, y) je: Reševanje hkrati kritičnih enačb (delno f) / (delno x) = (delno f) / (delno y) = 0 (tj. z_x = z_y = 0) Ocenite f_ (xx), f_ (yy) in f_ (xy) (= f_ (yx)) na vsaki od teh kritičnih točk . Zato ocenite Delta = f_ (x x) f_ (yy) -f_ (xy) ^ 2 na vsaki od teh točk. Določite naravo ekstremov; {: (Delta> 0, "Najmanjši je" f_ (xx) <0), (, "in maksimum če" f_ (yy)> 0), (Delta <0, &