Kako uporabljate binomsko formulo za razširitev [x + (y + 1)] ^ 3?

Odgovor:

# x ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1 #

Ta binom ima obliko # (a + b) ^ 3 #

Binomski del razširjamo z uporabo te lastnosti:

# (a + b) ^ 3 = a ^ 3 + 3a ^ 2b + 3ab ^ 2 + b ^ 3 #.

Kje v danem binomu # a = x # in # b = y + 1 #

Imamo:

# x + (y + 1) ^ 3 = #

# x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y + 1) ^ 2 + (y + 1) ^ 3 # opomnite ga kot (1)

V zgornjem razponu imamo še dva binomala za širitev

# (y + 1) ^ 3 # in # (y + 1) ^ 2 #

Za # (y + 1) ^ 3 # uporabiti moramo zgornjo kubično lastnino

Torej # (y + 1) ^ 3 = y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1 #. Opomba: (2)

Za # (y + 1) ^ 2 # uporabiti moramo kvadrat zneska, ki pravi:

# (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2ab + b ^ 2 #

Torej # (y + 1) ^ 2 = y ^ 2 + 2y + 1 #. Opomba: (3)

Če nadomestimo (2) in (3) v enačbi (1), imamo:

# x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y + 1) ^ 2 + (y + 1) ^ 3 #

# = x ^ 3 + 3x ^ 2 (y + 1) + 3x (y ^ 2 + 2y + 1) + (y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1) #

# = x ^ 3 + 3x ^ 2y + 3x ^ 2 + 3xy ^ 2 + 6xy + 3x + y ^ 3 + 3y ^ 2 + 3y + 1 #

Dodati moramo podobne izraze, toda v tem polinomu nimamo podobnih izrazov, lahko uredimo pogoje.

Tako

# x + (y + 1) ^ 3 = x ^ 3 + y ^ 3 + 3x ^ 2y + 3xy ^ 2 + 3x ^ 2 + 3y ^ 2 + 6xy + 3x + 3y + 1 #