Kakšna je standardna oblika enačbe kroga s središčem (-3,3) in tangento na črto y = 1?

Odgovor:

Enačba kroga je # x ^ 2 + y ^ 2 + 6x-6y + 14 = 0 # in # y = 1 # je tangenta na #(-3,1)#

Pojasnilo:

Enačba kroga s središčem #(-3,3)# s polmerom # r # je

# (x + 3) ^ 2 + (y-3) ^ 2 = r ^ 2 #

ali # x ^ 2 + y ^ 2 + 6x-6y + 9 + 9-r ^ 2 = 0 #

Kot # y = 1 # je tangenta na ta krog # y = 1 # v enačbi kroga je treba dati le eno rešitev za # x #. To bomo dobili

# x ^ 2 + 1 + 6x-6 + 9 + 9-r ^ 2 = 0 # ali

# x ^ 2 + 6x + 13-r ^ 2 = 0 #

in ker bi morali imeti samo eno rešitev, bi morala biti diskriminanta te kvadratne enačbe #0#.

Zato # 6 ^ 2-4xx1xx (13-r ^ 2) = 0 # ali

# 36-52 + 4r ^ 2 = 0 # ali # 4r ^ 2 = 16 # in kot # r # mora biti pozitiven

# r = 2 # in zato je enačba kroga

# x ^ 2 + y ^ 2 + 6x-6y + 9 + 9-4 = 0 # ali # x ^ 2 + y ^ 2 + 6x-6y + 14 = 0 #

in # y = 1 # je tangenta na #(-3,1)#