Kako najdete absolutno maksimalno in absolutno minimalno vrednost f na danem intervalu: f (t) = t sqrt (25-t ^ 2) na [-1, 5]?

Odgovor:

Reqd. ekstremne vrednosti # -25 / 2 in 25/2 #.

Pojasnilo:

Uporabljamo zamenjavo # t = 5sinx, t v -1,5 #.

Upoštevajte, da je ta zamenjava dovoljena, ker, # t v -1,5 rArr -1 <= t <= 5rArr -1 <= 5sinx <= 5 #

#rArr -1/5 <= sinx <= 1 #, kar je dobro, kot razpon # sin # zabavno. je #-1,1#.

Zdaj, #f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) = 5sinx * sqrt (25-25sin ^ 2x) #

# = 5sinx * 5cosx = 25sinxcosx = 25/2 (2sinxcosx) = 25 / 2sin2x #

Od, # -1 <= sin2x <= 1 rArr -25/2 <= 25 / 2sin2x <= 25/2 #

#rArr -25/2 <= f (t) <= 25/2 #

Zato, prosim. okončin # -25 / 2 in 25/2 #.

Odgovor:

Poiščite monotonijo funkcije iz znaka izpeljanka in se odločite, kateri lokalni / minimumi so največji, najmanjši.

Absolutni maksimum je:

#f (3.536) = 12.5 #

Absolutni minimum je:

#f (-1) = - 4.899 #

Pojasnilo:

#f (t) = tsqrt (25-t ^ 2) #

Izvedba funkcije:

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (25-t ^ 2)' #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) + t * 1 / (2sqrt (25-t ^ 2)) (- 2t) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = sqrt (25-t ^ 2) ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) -t ^ 2 / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-t ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = (25-2t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (12,5-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 (sqrt (12,5) ^ 2-t ^ 2) / sqrt (25-t ^ 2) #

#f '(t) = 2 ((sqrt (12,5) -t) (sqrt (12,5) + t)) / sqrt (25-t ^ 2) #

• Števec ima dve rešitvi:

  # t_1 = sqrt (12.5) = 3.536 #

  # t_2 = -sqrt (12.5) = - 3.536 #

  Zato je števec:

  Negativno za #t in (-oo, -3.536) uu (3.536, + oo) #

  Pozitivno za #t in (-3.536,3.536) #

• Imenovalec je vedno pozitiven # RR #, ker je kvadratni koren.

  Nazadnje je dano območje #-1,5#

Zato je derivat funkcije:

- Negativno za #t in -1,3,536 #

- Pozitivno za #t in (3,536,5) #

To pomeni, da se graf najprej pomakne navzgor #f (-1) # do #f (3.536) # in potem gre dol #f (5) #. To pomeni #f (3.536) # absolutnega maksimuma in največje vrednosti. t #f (-1) # in #f (5) # je absolutni minimum.

Absolutni maksimum je #f (3.536) #:

#f (3.536) = 3.536sqrt (25-3.536 ^ 2) = 12.5 #

Za absolutni maksimum:

#f (-1) = - 1sqrt (25 - (- 1) ^ 2) = - 4,899 #

#f (5) = 5sqrt (25-5 ^ 2) = 0 #

Zato, #f (-1) = - 4.899 # je absolutni minimum.

Iz spodnjega grafa lahko vidite, da je to res. Prezri na levo od #-1# ker je izven domene:

graf {xsqrt (25-x ^ 2) -14,4, 21,63, -5,14, 12,87}