Pokažite, da je pot, ki jo zasledimo s presečiščem treh medsebojnih pravokotnih tangentnih ravnin z elipsoidno sekiro ^ 2 + s ^ 2 + cz ^ 2 = 1, krogla z istim središčem kot elipsoid.

Odgovor:

Glej spodaj.

Pojasnilo:

Klicanje # E-> f (x, y, z) = sekira ^ 2 + s ^ 2 + cz ^ 2-1 = 0 #

Če #p_i = (x_i, y_i, z_i) v E # potem

# ax_ix + by_iy + cz_iz = 1 # je ravnina, ki se dotika # E # ker ima skupno točko in #vec n_i = (ax_i, by_i, cz_i) # je normalno # E #

Let # Pi-> alfa x + beta y + gama z = delta # biti splošna tangenta na # E # potem

# {(x_i = alfa / (delta)), (y_i = beta / (bdelta)), (z_i = gama / (c delta)):} #

ampak

# ax_i ^ 2 + by_i ^ 2 + cz_i ^ 2 = 1 # tako

# alfa ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gama ^ 2 / c = delta ^ 2 # in enačba generične tangentne ravnine je

#alpha x + beta y + gama z = pmsqrt (alfa ^ 2 / a + beta ^ 2 / b + gama ^ 2 / c) #

Zdaj so podane tri ortogonalne ravnine

# Pi_i-> alpha_i x + beta_i y + gamma_i z = delta_i #

in kliče #vec v_i = (alpha_i, beta_i, gamma_i) # in izdelavo

#V = ((vec v_1), (vec v_2), (vec v_3)) # lahko izbiramo

#V cdot V ^ T = I_3 #

in posledično

# V ^ Tcdot V = I_3 #

potem imamo tudi

# {(sum_i alpha_i ^ 2 = 1), (sum_i beta_i ^ 2 = 1), (sum_i gamma_i ^ 2 = 1), (sum_i alpha_i beta_i = 0), (sum_i alpha_i gamma_i = 0), (sum_i beta_i gamma_i = 0):} #

Zdaj dodaj #sum_i (alpha_i x + beta_iy + gamma_iz) ^ 2 # imamo

# x ^ 2sum_i alpha_i ^ 2 + y ^ 2sum_i beta_i ^ 2 + z ^ 2sum_i gamma_i ^ 2 + 2 (xy vsota (alpha_i beta_i) + xzsum (alpha_i gamma_i) + vsota (beta_i gamma_i)) = sum_i delta_i ^ 2 #

in končno

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = sum_i delta_i ^ 2 #

ampak #sum_i delta_i ^ 2 = sum_ialpha_i ^ 2 / a + sum_ibeta_i ^ 2 / b + sum_igamma_i ^ 2 / c = 1 / a + 1 / b + 1 / c #

tako

# x ^ 2 + y ^ 2 + z ^ 2 = 1 / a + 1 / b + 1 / c #

ki je pot, ki jo zasledimo s presečiščem treh medsebojno pravokotnih ravnin tangente na elipsoid.

Priložena je grafika za elipsoid

# x ^ 2 + 2y ^ 2 + 3z ^ 2 = 1 #