Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Izračunaj vrednost pričakovanja v vsakem kasnejšem času t = t_1, phi_n so lastne funkcije energije neskončnega potenciala. Napišite odgovor v smislu E_0?

Psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) Izračunaj vrednost pričakovanja v vsakem kasnejšem času t = t_1, phi_n so lastne funkcije energije neskončnega potenciala. Napišite odgovor v smislu E_0?
Anonim

No, razumem # 14 / 5E_1 #… in glede na vaš izbrani sistem, ni mogoče ponovno izraziti v smislu # E_0 #.

V tem vprašanju je tako veliko pravil o kvantni mehaniki …

  • The # phi_0 #, ker uporabljamo neskončne potencialne rešitve, izgine samodejno … #n = 0 #, Torej #sin (0) = 0 #.

In za kontekst smo pustili #phi_n (x) = sqrt (2 / L) sin ((npix) / L) #…

  • je nemogoče napisati odgovor v smislu # E_0 # Ker #n = 0 # NE obstaja za neskončno dobro potencial. Razen če hočeš delca izginili , Moram ga napisati v smislu # E_n #, #n = 1, 2, 3,… #…

  • Energija je konstanta gibanja, tj. # (d << E >>) / (dt) = 0 #…

In zdaj…

#Psi_A (x, 0) = 1 / sqrt3 sqrt (2 / L) sin ((pix) / L) + 1 / sqrt2 sqrt (2 / L) sin ((2pix) / L) #

Vrednost pričakovanja je konstanta gibanja, zato nam ni mar, kateri čas # t_1 # izberemo. V nasprotnem primeru to ni konzervativen sistem …

# << E >> = (<< Psi | hatH | Psi >>) / (<< Psi | Psi >>) = E_n # Za nekatere #n = 1, 2, 3,… #

Pravzaprav že vemo, kaj bi moralo biti, saj je Hamiltonian za enodimenzionalno neskončno potencialno dobro časovno NEODVISNO …

#hatH = -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) + 0 #

# (delhatH) / (delt) = 0 #

in # (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) ^ "*" (e ^ (-iE_nt_http: // ℏ)) # pojdite na 1 v integralu:

#color (modra) (<< E >>) = (1 / 3int_ (0) ^ (L) Phi_1 ^ "*" (x, t) hatHPhi_1 (x, t) dx + 1 / 2int_ (0) ^ (L) Phi_2 ^ "*" (x, t) hatHPhi_2 (x, t) dx) / (<< Psi | Psi >>) #

kjer smo pustili #Phi_n (x, t) = phi_n (x, 0) e ^ (-iE_nt_http: // ℏ) #. Ponovno se izničijo vsi fazni faktorji, in ugotavljamo, da ne-diagonalni izrazi gredo na nič zaradi ortogonalnosti # phi_n #.

Imenovalec je norma # Psi #, kateri je

#sum_i | c_i | ^ 2 = (1 / sqrt3) ^ 2 + (1 / sqrt2) ^ 2 = 5/6 #.

Zato, # << Psi | Psi >> = 5/6 #. To daje:

# => (1 / sqrt3) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) preklic (e ^ (iE_1t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((pix) / L) preklic (e ^ (-iE_1t_http: // ℏ)) dx + (1 / sqrt2) ^ 2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) odpoved (e ^ (iE_2t_http: // ℏ)) -ℏ ^ 2 / (2m) (d ^ 2) / (dx ^ 2) sin ((2pix) / L) preklic (e ^ (-iE_2t_http: // ℏ)) dx / (5 // 6) #

Uporabi izvedene finančne instrumente:

# = 6/5 1/3 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) / ^ 2 / (2m) cdot pi ^ 2 / L ^ 2 sin ((pix) / L) dx + 1/2 (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) ℏ ^ 2 / (2m) cdot (4pi ^ 2) / L ^ 2 sin ((2pix) / L) dx #

Konstante izplavajo:

# = 6/5 1/3 (2 ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((pix) / L) sin ((pix) / L) dx + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) int_ (0) ^ (L) sin ((2pix) / L) sin ((2pix) / L) dx #

Ta sestavina je znana iz fizičnih razlogov, da je na pol poti #0# in # L #, neodvisno od # n #:

# = 6/5 1/3 (2 ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) (2 / L) L / 2 #

# = 6/5 1/3 (2 ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) + 1/2 (4ℏ ^ 2pi ^ 2) / (2mL ^ 2) #

# = 6/5 1/3 E_1 + 1/2 4E_1 #

# = barva (modra) (14/5 E_1) #

Odgovor:

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 = 6E_0 #

Pojasnilo:

Vsako stacionarno stanje, ki ustreza lastni energijski vrednosti # E_n # prevzame fazni faktor #e ^ {- iE_n t} # časovni razvoj. Podana država je ne stacionarnem stanju - ker je to superpozicija lastnih energij, ki pripadajo različnim lastnim vrednostim. Posledično se bo s časom razvijala na nevsiljiv način. Vendar je Schroedingerjeva enačba, ki ureja časovno evolucijo stanj, linearna - tako da se vsaka lastna funkcija lastne komponente razvija neodvisno - pobira svoj lastni fazni faktor.

Torej, začetna valovna funkcija

#psi_A (x, 0) = sqrt (1/6) phi_0 (x) + sqrt (1/3) phi_1 (x) + sqrt (1/2) phi_2 (x) #

razvija # t # do

#psi_A (x, t) = sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏt} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t} #

Tako je vrednost energetskega pričakovanja v času # t # je podan z

# <E> = int_-infty ^ infty psi_A ** (x, t) klobuk {H} psi_A (x, t) dx #

# = int_infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {iE_2ℏ t}) klobuk {H} (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {- iE_1 /} t} + sqrt (1/2) phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

# = int_-infty ^ infty (sqrt (1/6) phi_0 (x) e ^ {iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) phi_1 (x) e ^ {iE_1 / ℏ t} + sqrt (1 / 2) phi_2 (x) e ^ {iE_2 / ℏ t}) krat (sqrt (1/6) E_0phi_0 (x) e ^ {- iE_0 / ℏ t} + sqrt (1/3) E_1phi_1 (x) e ^ { -iE_1 / ℏ t} + sqrt (1/2) E_2phi_2 (x) e ^ {- iE_2 / ℏ t}) dx #

kjer smo uporabili dejstvo, da je #phi_i (x) # so lastne funkcije energije, tako da #hat {H} phi_i (x) = E_i phi_i (x) #.

To nam še vedno daje devet pogojev. Vendar je končni izračun veliko poenostavljen zaradi dejstva, da so lastne funkcije energije orto-normalizirane, t.j. poslušajo

# int_-infty ^ infty phi_i (x) phi_j (x) dx = delta_ {ij} #

To pomeni, da od devetih integralov preživijo samo trije in dobimo

# <E> = 1/6 E_0 + 1 / 3E_1 + 1/2 E_2 #

Uporaba standardnega rezultata, ki #E_n = (n + 1) ^ 2 E_0 #, imamo # E_1 = 4E_0 # in # E_2 = 9E_0 # za brezkončni potencialni potencial (morda ste bolj navajeni na izraz, ki pravi #E_n propto n ^ 2 # za neskončno dobro - toda v teh je označeno osnovno stanje # E_1 # - tukaj ga označujemo # E_0 # - s tem sprememba). Tako

# <E> = (1/6 krat 1 + 1/3 krat 4 + 1/2 krat 9) E_0 = 108/18 E_0 = 6E_0 #

Opomba:

  1. Medtem ko se posamezne lastne energijske funkcije razvijajo v času s pobiranjem faznega faktorja, celotna valovna funkcija ne od začetnega razlikujejo le s faznim faktorjem - zato ni več stacionarno stanje.
  2. Vključeni integrali so bili podobni

    # int_-infty ^ infty psi_i (x) e ^ {+ iE_i / ℏ t} E_j psi_j e ^ {- iE_j / ℏ t} dx = E_j e ^ {i (E_i-E_j) / ℏt} krat int_-infty ^ infty psi_i (x) psi_j (x) dx #

    in ti izgledajo kot časovno odvisni. Vendar pa so edini preživeli integrali tisti, za katere # i = j # - in to so prav tiste, za katere se časovna odvisnost odpove.

  3. Zadnji rezultati se ujemajo z dejstvom, da #hat {H} # je ohranjena - čeprav stanje ni stacionarno stanje - vrednost energetskega pričakovanja ni odvisna od časa.
  4. Originalna funkcija valovanja je od takrat že normalizirana # (sqrt {1/6}) ^ 2 + (sqrt {1/3}) ^ 2 + (sqrt {1/2}) ^ 2 = 1 # in ta normalizacija se ohranja v evoluciji časa.
  5. Lahko bi zmanjšali veliko dela, če bi uporabili standardni kvantni mehanski rezultat - če bi se valovna funkcija razširila v obliki #psi = sum_n c_n phi_n # kje za # phi_n # so lastne funkcije Hermitijskega operaterja #hat {A} #, #hat {A} phi_n = lambda_n phi_n #, potem # <hat {A}> = sum_n | c_n | ^ 2 lambda_n #, pod pogojem, da so države pravilno normalizirane.
Račun
Izbira urednika