Zakaj je dopolnjevanje kvadrata koristno? + Primer

Odgovor:

Poenostaviti kvadratne izraze tako, da postanejo rešljive s kvadratnimi koreninami.

Pojasnilo:

Dokončanje kvadrata je primer Tschirnhausove transformacije - uporaba substitucije (čeprav implicitno), da bi reducirali polinomsko enačbo na enostavnejšo obliko.

Tako je navedeno:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 "" # z #a! = 0 #

lahko pišemo:

# 0 = 4a (ax ^ 2 + bx + c) #

#barva (bela) (0) = 4a ^ 2x ^ 2 + 4abx + 4ac #

#barva (bela) (0) = (2ax) ^ 2 + 2 (2ax) b + b ^ 2- (b ^ 2-4ac) #

#barva (bela) (0) = (2ax + b) ^ 2- (sqrt (b ^ 2-4ac)) ^ 2 #

#barva (bela) (0) = ((2ax + b) -sqrt (b ^ 2-4ac)) ((2ax + b) + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

#barva (bela) (0) = (2ax + b-sqrt (b ^ 2-4ac)) (2ax + b + sqrt (b ^ 2-4ac)) #

Zato:

# 2ax = -b + -sqrt (b ^ 2-4ac) #

Torej:

#x = (-b + -sqrt (b ^ 2-4ac)) / (2a) #

Tako, da smo začeli s kvadratno enačbo v obliki:

# ax ^ 2 + bx + c = 0 #

dobili smo ga v obliki # t ^ 2-k ^ 2 = 0 # z #t = (2ax + b) # in # k = sqrt (b ^ 2-4ac) #, ki odpravlja linearni izraz, ki pušča le kvadratne izraze.

Dokler smo zadovoljni z izračunavanjem kvadratnih korenin, lahko sedaj rešimo katerokoli kvadratno enačbo.

Dokončanje kvadrata je uporabno tudi za navajanje enačbe kroga, elipse ali drugih stožnic v standardno obliko.

Na primer:

# x ^ 2 + y ^ 2-4x + 6y-12 = 0 #

če zaključimo kvadrat, najdemo:

# (x-2) ^ 2 + (y + 3) ^ 2 = 5 ^ 2 #

da bi lahko identificirali to enačbo kot krog s središčem #(2, -3)# in polmer #5#.