Vprašanje # 69feb

Odgovor:

Običajna vrstica: # y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #. Tangentna črta: #y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Pojasnilo:

Za intuicijo: Predstavljajte si, da je funkcija #f (x, y) = e ^ x ln (y) - xy # opisuje višino določenega terena, kjer # x # in # y # so koordinate v ravnini in #ln (y) # Predpostavlja se, da je naravni logaritem. Potem pa vse # (x, y) # tako, da #f (x, y) = a # (višina) je enaka neki konstanti # a # imenujemo ravni krivulj. V našem primeru je konstantna višina # a # je nič, ker #f (x, y) = 0 #.

Morda ste seznanjeni z topografskimi kartami, kjer zaprte črte označujejo črte enake višine.

Zdaj gradient #grad f (x, y) = ((delno f) / (delno x), (delno f) / (delno x)) = (e ^ x ln (y) - y, e ^ x / y - x) # nam daje smer na točki # (x, y) # v kateri #f (x, y) # (višina) se najhitreje spremeni. To je bodisi naravnost navzgor ali naravnost po hribu, dokler je naš teren gladek (razločljiv) in nismo na vrhu, v dnu ali na planoti (ekstremna točka). To je pravzaprav normalna smer na krivuljo konstantne višine, tako da pri # (x, y) = (2, e ^ 2) #:

#grad f (2, e ^ 2) = (e ^ 2 ln (e ^ 2) - e ^ 2, e ^ 2 / e ^ 2 - 2) = (e ^ 2, -1) #.

Zato normalno linijo v tej smeri # (2, e ^ 2) # lahko opišemo kot

# (x, y) = (2, e ^ 2) + s (e ^ 2, -1) #, kje # s v mathbbR # je dejanski parameter. Lahko odpravite # s # izraziti # y # kot funkcija # x # če želite, da najdete

# y = (x-2-e ^ 4) / e ^ 2 #.

Smerni derivat v smeri tangente mora biti #0# (kar pomeni, da se višina ne spremeni), torej tangentni vektor # (u, v) # mora izpolnjevati

#grad f (2, e ^ 2) cdot (u, v) = 0 #

# (e ^ 2, -1) cdot (u, v) = 0 #

# e ^ 2u - v = 0 #

# v = e ^ 2u #, kje # cdot # pomeni točkovni izdelek. Torej # (u, v) = (1, e ^ 2) # je ena veljavna izbira. Zato tangenta iti skozi # (2, e ^ 2) # lahko opišemo kot

# (x, y) = (2, e ^ 2) + t (1, e ^ 2) #, #t in mathbbR #.

Reševanje za # y # daje to

#y = e ^ 2x -e ^ 2 #.

Končno morate to preveriti # (2, e ^ 2) # leži na krivulji #f (x, y) #, na tangentni črti in na običajni črti.