Odgovor:
#= 6 # kubičnih enot
Pojasnilo:
normalni vektor je #((2),(3),(1))# ki kaže v smeri oktanta 1, zato je zadevna prostornina pod ravnino in v oktantu 1
lahko ponovno napišemo letalo kot #z (x, y) = 6 - 2x - 3y #
za #z = 0 # imamo
- # z = 0, x = 0 pomeni y = 2 #
- # z = 0, y = 0 pomeni x = 3 #
in
- - # x = 0, y = 0 pomeni z = 6 #
to je to:
količina, ki jo potrebujemo, je
#int_A z (x, y) dA #
# = int_ (x = 0) ^ (3) int_ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x) 6 - 2x - 3y dy
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6y - 2xy - 3 / 2y ^ 2 _ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x)
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6 (2-2 / 3 x) - 2x (2-2 / 3 x) - 3/2 (2-2 / 3 x) ^ 2 _ (y = 0) ^ (2 - 2/3 x)
# = int_ (x = 0) ^ (3) 12-4 x - 4x + 4/3 x ^ 2 - 6 - 2/3 x ^ 2 + 4x
# = int_ (x = 0) ^ (3) 6-4 x + 2/3 x ^ 2
# = 6x- 2 x ^ 2 + 2/9 x ^ 3 _ (x = 0) ^ (3) #
#= 18- 18 + 54/9 #
#= 6 #
Odgovor:
6
Pojasnilo:
Izvajali bomo trojni integral.
Najbolj uporaben je kartezijski koordinatni sistem. Vrstni red povezovanja ni kritičen. Gremo najprej z, y srednji, x zadnji.
#underline ("Določanje omejitev") #
Na letalu #z = 6 - 2x - 3y # in na koordinatni ravnini #z = 0 # zato
# z: 0 rarr 6 - 2x - 3y #
Skupaj # z = 0 #, # y # gre od 0 do # 3y = 6 - 2x # zato
#y: 0 rarr 2 - 2 / 3x #
Skupaj # y = 0, z = 0 # zato
#x: 0 rarr 3 #
Tako najdemo količino #f (x, y, z) = 1 #. Integral postane
# int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) int_0 ^ (6-2x-3y) dzdydx #
# = int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) z _0 ^ (6-2x-3y) dydx #
# = int_0 ^ 3int_0 ^ (2-2 / 3x) (6-2x-3y) dydx #
# = int_0 ^ 3 6y-2xy - 3 / 2y ^ 2 _0 ^ (2-2 / 3x) dx #
# = int_0 ^ 3 (6 (2-2 / 3x) - 2x (2-2 / 3x) - 3/2 (2-2 / 3x) ^ 2) dx #
# = int_0 ^ 3 (12 - 4x - 4x + 4 / 3x ^ 2 - 3/2 (4 - 8 / 3x + 4 / 9x ^ 2)) dx #
# = int_0 ^ 3 (12 - 8x + 4 / 3x ^ 3 - 6 + 4x - 2 / 3x ^ 2) dx #
# = int_0 ^ 3 (6 - 4x + 2 / 3x ^ 2) dx #
# = 6x - 2x ^ 2 + 2 / 9x ^ 3 _0 ^ 3 #
#=6(3) - 2(3)^2 +2/9(3)^3 #
#=6#
