Vprašanje # 27939

Odgovor:

Kot je poudaril Sudip Sinha # -1 + sqrt3i # ni nič. (Zanemaril sem, da to preverim.) Druge ničle so # 1-sqrt3 i # in #1#.

Pojasnilo:

Ker so vsi koeficienti realna števila, se morajo vsa namišljena ničla pojaviti v konjugiranih parih.

Zato, # 1-sqrt3 i # je nič.

Če # c # je nič # z-c # je dejavnik, da se lahko pomnožimo

# (z- (1 + sqrt3 i)) (z- (1-sqrt3 i)) # dobiti # z ^ 2-2z + 4 #

in nato delite #P (z) # s tem kvadratnim.

Vendar je hitreje razmisliti o možni racionalni ničli za # P # prvi. Ali pa dodajte koeficiente, da vidite to #1# je tudi nič.

Odgovor:

#1# in # 1 - sqrt3 i #

Pojasnilo:

V vašem vprašanju je prišlo do napake. Koren mora biti # 1 + sqrt3 i #. To lahko preverite tako, da v izraz vnesete vrednost. Če je koren, mora biti izraz ocenjen na nič.

Izraz ima vse realne koeficiente, zato imamo iz teoreme kompleksnega konjugiranega korena (http://en.wikipedia.org/wiki/Complex_conjugate_root_theorem), da je drugi kompleksni koren # 1 - sqrt3 i #, Jasno je, da je tretji koren (recimo # a #) mora biti resničen, saj ne more imeti kompleksnega konjugata; v nasprotnem primeru bo 4 korenine, kar ni mogoče za enačbo 3. stopnje.

Opomba

# (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

# = ((z - 1) + sqrt3 i) ((z - 1) - sqrt3 i) #

# = ((z - 1) ^ 2 - (sqrt3 i) ^ 2) # (Od # (z + a) (z - a) = z ^ 2 - a ^ 2 #.)

# = z ^ 2 - 2z + 1 - 3 (-1) #

# = z ^ 2 - 2z + 4 #

Ta dejavnik bomo poskušali dobiti v izrazu.

Lahko pišemo:

# P (z) = z ^ 3 - 3z ^ 2 + 6z - 4 #

# = z (z ^ 2 - 2z + 4) - 1 (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z ^ 2 - 2z + 4) #

# = (z - 1) (z - (1 - sqrt3 i)) (z - (1 + sqrt3 i)) #

Odgovor:

Kot uvod, mislim, da bi moral biti koren #barva (modra) (1 + sqrt3) # in ne #barva (rdeča) (- 1 + sqrt3) #

Na tej podlagi moj odgovor je:

#z v {1, "" 1 + sqrt3, "" 1-sqrt3} #

Pojasnilo:

Z uporabo ideje kompleksnih konjugatov in nekaj drugega kul triki.

#P (z) # je polinom stopnje #3#. To pomeni, da mora le imeti #3# korenine.

Eno zanimivo dejstvo o kompleksnih koreninah je, da se nikoli ne pojavijo same konjugiranih parov.

Torej če # 1 + isqrt3 # je en koren, nato njegov konjugat: # 1-isqrt3 # prav gotovo je tudi koren!

Ker je le še en koren levo, lahko pokličemo tega korena # z = a #.

To ni kompleksno število, ker se kompleksne korenine vedno pojavljajo v parih.

In ker je to zadnja od #3# korenine, po prvem ne more biti nobenega drugega para!

Na koncu dejavniki #P (z) # zlahka ugotovili # z- (1 + isqrt3) "," z- (1-isqrt3) "in" (z-a) #

Opomba: Upoštevajte, da je razlika med korenom in dejavnikom ta, da:

- Koren bi lahko bil # z = 1 + i #

Toda ustrezen faktor bi bil # z- (1 + i) #

Drugi trik je, da z faktoringom #P (z) # dobili bi morali nekaj takega:

#P (z) = z- (1 + isqrt3) z- (1-isqrt3) (z-a) #

Nato razširite oklepaje, #P (z) = z ^ 2-z (1 + isqrt3 + 1-isqrt3) + (1 + isqrt3) (1-isqrt3) (z-a) #

# = z ^ 2-z (2) + (1 + 3) (z-a) #

# = z ^ 2-2z + 4 (z-a) #

# = z ^ 3 + z ^ 2 (-a-2) + z (2a + 4) -4a #

Nato izenačimo to s prvotnim polinomom #P (z) = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

# => z ^ 3 + z ^ 2 (-a + 2) + z (-2a + 4) -4a = z ^ 3-3z ^ 2 + 6z-4 #

Ker sta dva polinoma enaka, enačimo koeficiente # z ^ 3 #, # z ^ 2 #, # z ^ 1 #in # z ^ 0 #(stalna doba) na obeh straneh,

Pravzaprav moramo izbrati eno enačbo in jo rešiti # a #

Izenačevanje stalnih izrazov, # => - 4a = -4 #

# => a = 1 #

Zato je zadnji koren #barva (modra) (z = 1) #