Kolikšen je kvadratni koren sqrt ((y ^ 2 - z ^ 2) (z ^ 2 - x ^ 2)) + sqrt ((z ^ 2 - x ^ 2) (x ^ 2 - y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2 - y ^ 2) (y ^ 2 - z ^ 2))?

Odgovor:

#sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) #

pod pogojem, da sta vsaj dva od naslednjih zadržkov:

# x ^ 2> = y ^ 2 "" y ^ 2> = z ^ 2 "" z ^ 2> = x ^ 2 #

Pojasnilo:

Upoštevajte, da:

# (x ^ 2-y ^ 2) + (y ^ 2-z ^ 2) + (z ^ 2-x ^ 2) #

# = barva (rdeča) (preklic (barva (črna) (x ^ 2))) - barva (rdeča) (preklic (barva (črna) (x ^ 2))) + barva (vijolična) (preklic (barva (črna)) (y ^ 2))) - barva (vijolična) (preklic (barva (črna) (y ^ 2))) + barva (vijolična) (preklic (barva (črna) (z ^ 2))) - barva (vijolična)) (prekliči (barva (črna) (z ^ 2))) = 0 #

Torej poglejmo, kaj se zgodi, ko izstopimo:

#sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2) #

kot bodo kvadratni pogoji preklicani …

# (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 #

# = (sqrt (x ^ 2-y ^ 2)) ^ 2+ (sqrt (y ^ 2-z ^ 2)) ^ 2+ (sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) ^ 2 + 2sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

# = barva (rdeča) (prekliči (barva (črna) ((x ^ 2-y ^ 2) + (y ^ 2-z ^ 2) + (z ^ 2-x ^ 2)))) + 2sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + 2sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + 2sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

# = 2 (sqrt ((y ^ 2-z ^ 2) (z ^ 2-x ^ 2)) + sqrt ((z ^ 2-x ^ 2) (x ^ 2-y ^ 2)) + sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2))) #

Torej želimo kvadratni koren:

#sqrt (2) / 2 (sqrt (x ^ 2-y ^ 2) + sqrt (y ^ 2-z ^ 2) + sqrt (z ^ 2-x ^ 2)) #

#color (bela) () #

Opombe

Zgornji odgovor bolj ali manj predpostavlja, da:

#sqrt (a) sqrt (b) = sqrt (ab) #

Čeprav to drži, če je vsaj eden od #a, b # ni negativna, ne uspe, če sta oba negativna.

To se lahko zgodi v zgornjem izpeljavi, če na primer:

# 0 <x ^ 2 <y ^ 2 <z ^ 2 #

Nato najdemo:

#sqrt (x ^ 2-y ^ 2) sqrt (y ^ 2-z ^ 2) = -sqrt ((x ^ 2-y ^ 2) (y ^ 2-z ^ 2)) #

… nasprotni znak od tistega, kar potrebujemo.