Rešite sekiro ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0?

Odgovor:

Hitra skica …

Pojasnilo:

Glede na:

# ax ^ 4 + bx ^ 3 + cx ^ 2 + dx + e = 0 "" # z #a! = 0 #

To postane precej hitro, zato vam bom dala skico ene metode …

Pomnožite z # 256a ^ 3 # in nadomestek #t = (4ax + b) # dobiti depresivno monično četrtino oblike:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = 0 #

Upoštevajte, da to nima izraza v # t ^ 3 #, mora vsebovati obliko:

# t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r = (t ^ 2-at + B) (t ^ 2 + at + C) #

#barva (bela) (t ^ 4 + pt ^ 2 + qt + r) = t ^ 4 + (B + C-A ^ 2) t ^ 2 + A (B-C) t + BC #

Če izenačimo koeficiente in malo preuredimo, imamo:

# {(B + C = A ^ 2 + p), (B-C = q / A), (BC = d):} #

Torej najdemo:

# (A ^ 2 + p) ^ 2 = (B + C) ^ 2 #

#barva (bela) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = (B-C) ^ 2 + 4BC #

#barva (bela) ((A ^ 2 + p) ^ 2) = q ^ 2 / A ^ 2 + 4d #

Množenje, pomnoževanje z # A ^ 2 # in rahlo preurejanje, to postane:

# (A ^ 2) ^ 3 + 2p (A ^ 2) ^ 2 + (p ^ 2-4d) (A ^ 2) -q ^ 2 = 0 #

Ta "kubični" v # A ^ 2 #"ima vsaj en pravi koren. V idealnem primeru ima pozitivni pravi koren, ki daje dve možni realni vrednosti za. t # A #. Ne glede na to, bo vsak koren kubičnega naredil.

Glede na vrednost # A #, imamo:

#B = 1/2 ((B + C) + (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p + q / A) #

#C = 1/2 ((B + C) - (B-C)) = 1/2 (A ^ 2 + p-q / A) #

Zato dobimo dve kvadratni rešitvi.