Kakšna je površina trdne snovi, ki jo ustvari obračanje f (x) = xe ^ -x-xe ^ (x), x v [1,3] okoli osi x?

Odgovor:

Določite znak in ga nato združite po delih. Območje je:

# A = 39,6345 #

Pojasnilo:

Moraš vedeti, ali #f (x) # je negativna ali pozitivna #1,3#. Zato:

# xe ^ -x-xe ^ x #

#x (e ^ -x-e ^ x) #

Za določitev znaka bo drugi dejavnik pozitiven, ko:

# e ^ -x-e ^ x> 0 #

# 1 / e ^ x-e ^ x> 0 #

# e ^ x * 1 / e ^ x-e ^ x * e ^ x> e ^ x * 0 #

Od # e ^ x> 0 # za vse #x v (-oo, + oo) # neenakost se ne spremeni:

# 1-e ^ (x + x)> 0 #

# 1-e ^ (2x)> 0 #

# e ^ (2x) <1 #

# lne ^ (2x) <ln1 #

# 2x <0 #

#x <0 #

Funkcija je torej pozitivna le, če je x negativna in obratno. Ker obstaja tudi # x # faktor v #f (x) #

#f (x) = x (e ^ -x-e ^ x) #

Če je en faktor pozitiven, je drugi negativen, torej je f (x) vedno negativna. Zato območje:

# A = -int_1 ^ 3f (x) dx #

# A = -int_1 ^ 3 (xe ^ -x-xe ^ x) dx #

# A = -int_1 ^ 3xe ^ -xdx + int_1 ^ 3xe ^ xdx #

# A = -int_1 ^ 3x * (- (e ^ -x) ') dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = int_1 ^ 3x * (e ^ -x) 'dx + int_1 ^ 3x (e ^ x)' dx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x) 'e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3 (x)' e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ -xdx + x (e ^ x) _ 1 ^ 3-int_1 ^ 3e ^ xdx #

# A = xe ^ -x _1 ^ 3 - - e ^ -x _1 ^ 3 + x (e ^ x) _ 1 ^ 3 e ^ x _1 ^ 3 #

# A = (3e ^ -3-1 * e ^ -1) + (e ^ -3-e ^ -1) + (3e ^ 3-1 * e ^ 1) - (e ^ 3-e ^ 1) #

# A = 3 / e ^ 3-1 / e + 1 / e ^ 3-1 / e + 3e ^ 3-e-e ^ 3 + e #

# A = 4 / e ^ 3 -2 / e + 2e ^ 3 #

Uporaba kalkulatorja:

# A = 39,6345 #

Odgovor:

Površina = 11.336,8 kvadratnih enot

Pojasnilo:

dano #f (x) = xe ^ -x -xe ^ x #

za preprostost naj #f (x) = y #

in # y = xe ^ -x -xe ^ x #

prvi derivat # y '# potrebna pri izračunu površine.

Območje # = 2pi int_1 ^ 3 y # # ds #

kje # ds ## = sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Območje # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Določite prvi derivat # y '#:

razlikovati # y = x (e ^ -x - e ^ x) # z uporabo izpeljane formule proizvoda

#y '= 1 * (e ^ -x-e ^ x) + x * (e ^ -x * (- 1) -e ^ x) #

# y '= e ^ -x - e ^ x -x * e ^ -x -x * e ^ x #

Po poenostavitvi in faktoringu je rezultat

prvi derivat # y '= e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x) #

Izračunaj zdaj območje:

Območje = # 2 pi int_1 ^ 3 y # # ds #

Območje # = 2pi int_1 ^ 3 y # #sqrt (1+ (y ') ^ 2) # # dx #

Območje

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

Za zapletene integrale, kot je ta, lahko uporabimo Simpsonovo pravilo:

tako da

Območje

# = 2pi int_1 ^ 3 x (e ^ -x - e ^ x) # #sqrt (1+ (e ^ -x * (1-x) -e ^ x * (1 + x)) ^ 2 # # dx #

Območje = -11.336,804

to vključuje smer vrtenja, tako da je lahko negativna površina ali pozitivna površina. Poglejmo samo pozitivno vrednost Area = 11336.804 kvadratnih enot