Odgovor:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
Pojasnilo:
Let #f (x) = 3ln (5x) + x ^ 3 #
Predpostavimo, da imamo opravka z realnimi vrednostmi in s tem realnim naravnim logaritmom.
Potem smo prisiljeni #x> 0 # z namenom, da #ln (5x) # opredeliti.
Za vse #x> 0 # oba izraza sta dobro opredeljena in tako #f (x) # je dobro definirana funkcija z domeno # (0, oo) #.
Upoštevajte, da # 3ln (5) # in # x ^ 3 # so na tem področju strogo monotonične, zato je naša funkcija preveč in je ena na ena.
Za majhne pozitivne vrednosti # x #, izraz # x ^ 3 # je majhen, pozitiven in izraz # 3ln (5x) # je poljubno velik in negativen.
Za velike pozitivne vrednosti # x #, izraz # 3ln (5x) # je pozitiven in izraz # x ^ 3 # je poljubno velik in pozitiven.
Ker je funkcija tudi neprekinjena, je razpon # (- oo, oo) #
Torej za vsako vrednost #y in (-oo, oo) # obstaja edinstvena vrednost #x v (0, oo) # tako, da #f (x) = y #.
To določa našo obratno funkcijo:
#f ^ (- 1) (y) = x: f (x) = y #
To je #f ^ (- 1) (y) # je vrednost # x # tako, da #f (x) = y #.
Pokazali smo (neformalno), da to obstaja, vendar ni algebrske rešitve za # x # v smislu # y #.
Graf #f ^ (- 1) (y) # je graf #f (x) # odraža v vrstici # y = x #.
V zapisih:
#f = {(x, y) v (0, oo) xx RR: y = 3ln (5x) + x ^ 3} #
#f ^ (- 1) = {(x, y) v RR xx (0, oo): x = 3ln (5y) + y ^ 3} #
