Kakšni so ekstremi in sedeži f (x, y) = 6 sin x sin y na intervalu x, y v [-pi, pi]?

Odgovor:

# x = pi / 2 # in # y = pi #

# x = pi / 2 # in # y = -pi #

# x = -pi / 2 # in # y = pi #

# x = -pi / 2 # in # y = -pi #

# x = pi # in # y = pi / 2 #

# x = pi # in # y = -pi / 2 #

# x = -pi # in # y = pi / 2 #

# x = -pi # in # y = -pi / 2 #

Pojasnilo:

Najti kritične točke a #2#spremenljiva funkcija, morate izračunati gradient, ki je vektor, ki vsebuje derivate glede na vsako spremenljivko:

# (d / dx f (x, y), d / dy f (x, y)) #

Torej, imamo

# d / dx f (x, y) = 6cos (x) sin (y) #in podobno

# d / dy f (x, y) = 6sin (x) cos (y) #.

Da bi našli kritične točke, mora biti gradient ničelni vektor #(0,0)#, kar pomeni reševanje sistema

# {(6cos (x) sin (y) = 0), (6sin (x) cos (y) = 0):} #

ki seveda lahko poenostavimo odpravo #6#:

# {(cos (x) sin (y) = 0), (sin (x) cos (y) = 0):} #

Ta sistem je rešen z izbiro # x # točka, ki izniči kosinus in za # y # točka, ki izniči sinus, in obratno

# x = pm pi / 2 #, in # y = pm pi #, in obratno # x = pm pi # in # y = pm pi / 2 #, pridobitev #8# skupaj.

Kakšni so ekstremi in sedeži f (x) = 2x ^ 2 lnx?

Domena definicije: f (x) = 2x ^ 2lnx je interval x v (0, + oo). Ocenite prvi in drugi derivat funkcije: (df) / dx = 4xlnx + 2x ^ 2 / x = 2x (1 + 2lnx) (d ^ 2f) / dx ^ 2 = 2 (1 + 2lnx) + 2x * 2 / x = 2 + 4lnx + 4 = 6 + lnx Kritične točke so rešitve: f '(x) = 0 2x (1 + 2lnx) = 0 in kot x> 0: 1 + 2lnx = 0 lnx = -1 / 2 x = 1 / sqrt (e) V tej točki: f '' (1 / sqrte) = 6-1 / 2 = 11/2> 0, tako da je kritična točka lokalni minimum. Sedežne točke so rešitve: f '' (x) = 0 6 + lnx = 0 lnx = -6 x = 1 / e ^ 6 in ker je f '' (x) monotono, lahko sklepamo, da f (x) ) je konkavna navzdol za x <1 / e ^

Kakšni so ekstremi in sedeži f (x, y) = 2x ^ (2) + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 - y / x?

Ta funkcija nima stacionarnih točk (ali ste prepričani, da je f (x, y) = 2x ^ 2 + (xy) ^ 2 + 5x ^ 2 y / x, ki ste jo želeli študirati ?!). Glede na najbolj razpršeno definicijo sedlastih točk (stacionarne točke, ki niso ekstremi) iščemo stacionarne točke funkcije v njeni domeni D = (x, y) v RR ^ 2 = RR ^ 2 setminus {(0) , y) v RR ^ 2}. Zdaj lahko prepišemo izraz, podan za f, na naslednji način: f (x, y) = 7x ^ 2 + x ^ 2y ^ 2-y / x Način, kako jih prepoznati, je iskanje točk, ki izničijo gradient f, ki je vektor delnih derivatov: nabla f = ((del f) / (del x), (del f) / (del y)) Ker je domena odprti niz, ni potrebno iskati z

Kakšni so ekstremi in sedeži f (x, y) = 6 sin (-x) * sin ^ 2 (y) na intervalu x, y v [-pi, pi]?

Imamo: f (x, y) = 6sin (-x) sin ^ 2 (y) = -6sinxsin ^ 2y Korak 1 - Poišči delne derivate Izračunamo delni derivat od funkcija dveh ali več spremenljivk z razlikovanjem ene spremenljivke, medtem ko se druge spremenljivke obravnavajo kot konstantne. Tako: Prvi derivati so: f_x = -6cosxsin ^ 2y f_y = -6sinx (2sinycosy) = -sinxsin2y Drugi derivati (citirani) so: f_ (xx) = 6sinxsin ^ 2y f_ (yy) = -6sinx ( Drugi delni navzkrižni derivati so: f_ (xy) = -6cosxsin2y f_ (yx) = -6cosx (2sinycosy) = -6cosxsin2y. enaka zaradi kontinuitete f (x, y). Korak 2 - Opredelitev kritičnih točk Kritična točka se pojavi pri sočasni rešitvi f_x