Odgovor:
Elipsa
Pojasnilo:
Konike lahko predstavimo kot
#p cdot M cdot p + << p, {a, b} >> + c = 0 #
kje #p = {x, y} # in
#M = ((m_ {11}, m_ {12}), (m_ {21}, m_ {22})) #.
Za konike #m_ {12} = m_ {21} # potem # M # lastne vrednosti so vedno realne, ker je matrika simetrična.
Značilen polinom je
#p (lambda) = lambda ^ 2- (m_ {11} + m_ {22}) lambda + det (M) #
Glede na njihove korenine se lahko stožec uvrsti kot
1) Enak --- krog
2) Isti znak in različne absolutne vrednosti --- elipsa
3) Znaki različni --- hiperbola
4) En null root = parabola
V tem primeru imamo
#M = ((4,0), (0,8)) #
z značilnim polinomom
# lambda ^ 2-12lambda + 32 = 0 #
s koreninami #{4,8}# torej imamo elipso.
Ker je elipso, obstaja kanonska reprezentacija
# ((x-x_0) / a) ^ 2 + ((y-y_0) / b) ^ 2 = 1 #
# x_0, y_0, a, b # lahko določimo na naslednji način
# 4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 28- (b ^ 2 (x-x_0) ^ 2 + a ^ 2 (y-y_0) ^ 2-a ^ 2b ^ 2) = 0 za vse x RR #
dajanje
# {(-28 + a ^ 2 b ^ 2 - b ^ 2 x_0 ^ 2 - a ^ 2 y_0 ^ 2 = 0), (2 a ^ 2 y_0 = 0), (8 - a ^ 2 = 0), (-8 + 2 b ^ 2 x_0 = 0), (4 - b ^ 2 = 0):} #
rešujemo
# {a ^ 2 = 8, b ^ 2 = 4, x_0 = 1, y_0 = 0} #
tako
# {4 x ^ 2 + 8 y ^ 2 - 8 x - 24 = 4} equiv {(x-1) ^ 2/8 + y ^ 2/4 = 1} #
