Zakaj je kvadratni koren 5 iracionalna številka?

Odgovor:

Oglejte si razlago …

Pojasnilo:

Tukaj je skica dokazovanja z nasprotjem:

Recimo #sqrt (5) = p / q # za nekatera pozitivna cela števila # p # in # q #.

Brez izgube splošnosti lahko to domnevamo #p, q # so najmanjše takšne številke.

Potem po definiciji:

# 5 = (p / q) ^ 2 = p ^ 2 / q ^ 2 #

Pomnožite oba konca s # q ^ 2 # dobiti:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 #

Torej # p ^ 2 # je deljivo s #5#.

Potem pa od takrat #5# je prvovrsten, # p # mora biti deljivo s #5# tudi.

Torej #p = 5m # za nekaj pozitivnih števil # m #.

Torej imamo:

# 5 q ^ 2 = p ^ 2 = (5 m) ^ 2 = 5 * 5 * m ^ 2 #

Razdelite oba konca s #5# dobiti:

# q ^ 2 = 5 m ^ 2 #

Razdelite oba konca s # m ^ 2 # dobiti:

# 5 = q ^ 2 / m ^ 2 = (q / m) ^ 2 #

Torej #sqrt (5) = q / m #

Zdaj #p> q> m #, Torej #q, m # je manjši par celih števil, katerih količnik je #sqrt (5) #, ki nasprotuje naši hipotezi.

Naša hipoteza, da #sqrt (5) # lahko zastopa # p / q # za nekatera cela števila # p # in # q # je napačna. To je, #sqrt (5) # ni racionalno. To je, #sqrt (5) # je iracionalen.