Odgovor:
# x = (1 + -sqrt5) / 2, x = (3 + -sqrt13) / 2 #
Pojasnilo:
Ker ta quartic nima racionalnih korenin (in ne morem biti moten s formulami), začnemo z uporabo Newtonove metode za približevanje korenin:
# x ~~ -0.303 #
# x ~~ -0.618 #
# x ~~ 1.618 #
# x ~~ 3.303 #
Od tega smo ugotovili # x ~~ -0.618 # in # x ~~ 1.618 # izstopati. Prepoznamo jih kot zlato razmerje:
# x = (1 + -sqrt5) / 2 #
Lahko tudi preverimo, da so korenine, če jih vključimo v enačbo, vendar lahko samo vzamete mojo besedo, da so res korenine.
To pomeni, da je faktor enačbe naslednji:
# (x- (1 + sqrt5) / 2) (x- (1-sqrt5) / 2) = #
# = ((x-1/2) + sqrt5 / 2) ((x-1/2) -sqrt5 / 2) = #
# = (x-1/2) ^ 2- (sqrt5 / 2) ^ 2 = x ^ 2-x + 1 / 4-5 / 4 = #
# = x ^ 2-x-1 #
Ker, vemo # x ^ 2-x-1 # je faktor, lahko uporabimo polinomsko dolgo delitev, da ugotovimo preostanek in ponovno napišemo enačbo tako:
# (x ^ 2-x-1) (x ^ 2-3x-1) = 0 #
Smo že ugotovili, kdaj je levi faktor enak nič, tako da zdaj pogledamo desno. Kvadratno uporabo lahko rešimo s kvadratno formulo, da dobimo:
# x = (3 + -sqrt13) / 2 #
