Vprašanje # e8044

Odgovor:

#barva (modra) (int (1 / (1 + cot x)) dx =) #

#barva (modra) (1/2 * ln ((tan ^ 2 (x / 2) +1) / (tan ^ 2 (x / 2) -2 * tan (x / 2) -1)) + x / 2 + K) #

Pojasnilo:

Iz danih #int (1 / (1 + cot x)) dx #

Če je integrand racionalna funkcija trigonometričnih funkcij, je zamenjava # z = tan (x / 2) #, ali enakovredna

#sin x = (2z) / (1 + z ^ 2) # in #cos x = (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2) # in

# dx = (2dz) / (1 + z ^ 2) #

Rešitev:

#int (1 / (1 + cot x)) dx #

#int (1 / (1 + cos x / sin x)) dx #

#int (sin x / (sin x + cos x)) dx #

#int ((2z) / (1 + z ^ 2)) / (((2z) / (1 + z ^ 2) + (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2))) * ((2dz) / (1 + z ^ 2)) #

Poenostavite

#int ((2z) / (1 + z ^ 2)) / (((2z) / (1 + z ^ 2) + (1-z ^ 2) / (1 + z ^ 2))) * ((2dz) / (1 + z ^ 2)) #

#int (4z) / ((- z ^ 2 + 2z + 1) (z ^ 2 + 1)) * dz #

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz #

Na tej točki uporabite delne frakcije in jih nato integrirajte

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz = int ((Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2-2z-1)) dz #

Najprej delamo delne frakcije

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = (Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2- 2z-1) #

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = ((Az + B) (z ^ 2-2z-1) + (Cz + D) (z ^ 2 +1)) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

Razširite desno stran enačbe

# (- 4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) = #

# (Az ^ 3-2Az ^ 2-Az + Bz ^ 2-2Bz-B + Cz ^ 3 + Dz ^ 2 + Cz + D) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

Nastavite enačbe

# (0 * z ^ 3 + 0 * z ^ 2-4 * z + 0 * z ^ 0) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1) = #

# ((A + C) * z ^ 3 + (- 2A + B + D) * z ^ 2 + (- A - 2B + C) * z + (- B + D) * z ^ 0) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) #

Enačbe so

# A + C = 0 #

# -2A + B + D = 0 #

# -A-2B + C = -4 #

# -B + D = 0 #

Rezultat sočasne rešitve je

# A = 1 # in # B = 1 # in # C = -1 # in # D = 1 #

Zdaj lahko izvedemo integracijo

#int (-4z) / ((z ^ 2 + 1) (z ^ 2-2z-1)) * dz = int ((Az + B) / (z ^ 2 + 1) + (Cz + D) / (z ^ 2-2z-1)) dz = int ((z + 1) / (z ^ 2 + 1) + (- z + 1) / (z ^ 2-2z-1)) dz = #

# 1/2 int (2z) / (z ^ 2 + 1) dz + int dz / (z ^ 2 + 1) -1 / 2int (2z-2) / (z ^ 2-2z-1) dz #

# = 1/2 * ln (z ^ 2 + 1) + tan ^ -1 z-1/2 * ln (z ^ 2-2z-1) #

# = 1/2 * ln ((z ^ 2 + 1) / (z ^ 2-2z-1)) + tan ^ -1 z #

Vrnili ga bomo v izvirno spremenljivko # x # uporabo # z = tan (x / 2) # za končni odgovor.

#barva (modra) (int (1 / (1 + cot x)) dx =) #

#barva (modra) (1/2 * ln ((tan ^ 2 (x / 2) +1) / (tan ^ 2 (x / 2) -2 * tan (x / 2) -1)) + x / 2 + K) #

kje # K = # stalne integracije

Bog blagoslovi … Upam, da je razlaga koristna.