Znano je, da ima enačba bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 en pravi koren. Dokaži, da enačba x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 nima resničnih korenin.

Odgovor:

Glej spodaj.

Pojasnilo:

Korenine za # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # so

#x = (a - 3 b pmsqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2) / (2 b) #

Korenine bodo naključne in resnične, če

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2 = (a - 5 b) (a - b) = 0 #

ali

# a = b # ali #a = 5b #

Zdaj reševanje

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # imamo

#x = 1/2 (-a + b pm sqrt a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4) #

Pogoj za kompleksne korenine je

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 lt 0 #

zdaj #a = b # ali #a = 5b # imamo

# a ^ 2 - 6 a b + 5 b ^ 2-4 = -4 <0 #

Zaključek, če # bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 # ima takrat resnične korenine # x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 # imajo zapletene korenine.

Dajemo enačbo:

# bx ^ 2- (a-3b) x + b = 0 #

ima en pravi koren, zato je diskriminantna enačba nič:

# Delta = 0 #

# => (- (a-3b)) ^ 2 - 4 (b) (b) = 0 #

#:. (a-3b) ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 9b ^ 2 - 4b ^ 2 = 0 #

#:. a ^ 2-6ab + 5b ^ 2 = 0 #

#:. (a-5b) (a-b) = 0 #

#:. a = b #, ali # a = 5b #

Želimo prikazati enačbo:

# x ^ 2 + (a-b) x + (ab-b ^ 2 + 1) = 0 #

nima prave korenine. To bi zahtevalo negativno diskriminacijo. Diskriminanta za to enačbo je:

# Delta = (a-b) ^ 2 - 4 (1) (ab-b ^ 2 + 1) #

= a ^ 2-2ab + b ^ 2 -4ab + 4b ^ 2-4 #

= a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

Zdaj pa razmislimo o dveh možnih primerih, ki zadovoljijo prvo enačbo:

Primer 1: # a = b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

= (b) ^ 2-6 (b) b + 5b ^ 2-4 #

= b ^ 2-6b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# 0 t

Primer 2: # a = 5b #

# Delta = a ^ 2-6ab + 5b ^ 2-4 #

= (5b) ^ 2-6 (5b) b + 5b ^ 2-4 #

= 25b ^ 2-30b ^ 2 + 5b ^ 2-4 #

# = -4 #

# 0 t

Zato so pogoji prve enačbe takšni, da ima druga enačba vedno negativno diskriminantno in ima zato kompleksne korenine (tj. Brez resničnih korenin), QED