Reševanje tega z uporabo riemann integrala?

Odgovor:

# frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # ali # približno 1.302054638 … #

Pojasnilo:

Najpomembnejša identiteta za reševanje kakršnegakoli problema z neskončnim izdelkom je pretvorba v problem neskončnih vsot:

# {k = 1} ^ {n} a_k = a_1 * a_2 * a_3 … = e ^ {ln (a_1)} * e ^ {ln (a_2)} * e ^ {ln (a_3)}… #

POUDAREK:

# = exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln (a_k) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Ampak, preden lahko to naredimo, moramo najprej obravnavati # frac {1} {n ^ 2} v enačbi in btw naj se imenuje neskončni izdelek L:

# L = lim_ {n + 0} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ {frac {1} {n}} #

# = lim_ {n + 0} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} n ^ 2 (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n}} #

# = lim_ {n + 0} frac {n ^ 2} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2)) ^ {frac {1} {n}} = lim_ {n + + ofty} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n}} #

Sedaj lahko to pretvorimo v neskončno vsoto:

# L = lim_ {n + 0} prod_ {k = 1} ^ {n} (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n} } = lim_ {n + + ofty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} ln ((1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) ^ {frac {1} {n}}) #

uporabi lastnosti logaritma:

# L = lim_ {n + ofty} exp sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2 }) #

Z uporabo lastnosti omejitve:

# L = exp lim_ {n + 0} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2) }) #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Pokličimo neskončno vsoto S:

# S = lim_ {n + 0} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

In ne pozabite, da

# L = exp (S) #

Zdaj pa rešimo vaše vprašanje tako, da ga pretvorimo iz a RIEMANN SUM do a DEFINITE INTEGRAL:

Spomnimo se, da je definicija Riemannove vsote:

POUDAREK:

# int_ {a} ^ {b} f (x) dx = lim_ {n + + ofty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n) frac {ba} {n} #

Let

# lim_ {n + + ofty} sum_ {k = 1} ^ {n} f (a + k (frac {ba} {n})) * frac {ba} {n} = lim_ {n = + ofty} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) = S #

Zdaj pa naj # f (x) = ln (1 + x ^ 2) in a = 0 #

# f (k (frac {b} {n})) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Torej, b = 1, t.j.

# f (frac {k} {n}) = ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) #

Zato,

# S = lim_ {n + 0} sum_ {k = 1} ^ {n} frac {1} {n} * ln (1+ frac {k ^ 2} {n ^ 2}) int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Rešite za # int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #:

uporabo integracije po delih:

v uv dx = u int v dx - int (u '* v vdx) dx #

Let # u = ln (1 + x ^ 2) in v = 1 #

Nato uporabite pravilo verige in izpeljani naravni logaritem # u '= 1 / (1 + x ^ 2) * 2x = frac {2x} {1 + x ^ 2} #

in uporabite pravilo moči, da dobite: # 1dx = x #

int ln (1 + x ^ 2) dx = ln (1 + x ^ 2) * x - r (frac {2x} {1 + x ^ 2} * x) dx #

# = ln (1 + x ^ 2) * x - frac {2x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 frac {x ^ 2} {1 + x ^ 2} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 frac {x ^ 2 + 1 -1} {x ^ 2 + 1} dx # Uporabi pravilo odštevanja:

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 frac {x ^ 2 + 1} {x ^ 2 + 1} - frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 int1 - frac {1} {x ^ 2 + 1} dx #

Uporabite pravilo moči za prvi integral in drugi integral je standardna trigonometrična funkcija # arctan (x) # (inverzna funkcija tangente)

# = xln (1 + x ^ 2) - 2 x - arctan (x) #

Tako # ln (1 + x ^ 2) dx = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #

~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~~

Zdaj rešite za določen integral:

# S = int_ {0} ^ {1} ln (1 + x ^ 2) dx #

vemo, da je anti-derivat # F (x) = xln (1 + x ^ 2) - 2x + 2 arctan (x) + C #Tako

# S = F (x) | _ {x = 0} ^ {x = 1} = F (1) - F (0) #

#S = 1 ln (1 + 1 ^ 2) - 2 (1) + 2 arctan (1) - 0 + 0 - arctan (0) #

upoštevajte, da je arctan (1) 45 ° ali # frac {pi} {4} # (prikličite poseben pravokotni trikotnik s stranskimi dolžinami 1,1, #.srt {2} # in koti 45 °, 45 °, 90 °) in tudi # arctan (0) = 0 #

Tako #S = ln (2) - 2 + 2 (frac {pi} {4}) = ln (2) - 2 + frac {pi} {2} #

ali # približno 0,263943507354 … #

# L = exp S = exp ln (2) - 2 + frak {pi} {2} = e ^ {ln (2)} * e ^ {- 2} * e ^ {frac { pi} {2}} #

# L = 2 * frac {1} {e ^ 2} * (e ^ {pi}) ^ {1/2} #

# L = frac {2, sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} #

Zato je rešitev # l_ {n + 0} frac {1} {n ^ 2} prod_ {k = 1} ^ {n} (n ^ 2 + k ^ 2) ^ {frac {1} {n frac {2 sqrt {e ^ pi}} {e ^ 2} # ali # približno 1.302054638 … #