Kateri so ekstremi in sedeži f (x, y) = xye ^ (- x ^ 2-y ^ 2)?

Odgovor:

#(0,0)# je sedlo

# (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # in # (- 1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # so lokalni maksimumi

# (1 / sqrt 2, -1 / sqrt 2) # in # (- 1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # so lokalni minimumi

# (0, pm 1 / sqrt 2) # in # (pm 1 / sqrt 2,0) # so prevojne točke.

Pojasnilo:

Za splošno funkcijo #F (x, y) # s stacionarno točko # (x_0, y_0) # imamo razširitev serije Taylor

#F (x_0 + xi, y_0 + eta) = F (x_0, y_0) + 1 / (2!) (F_ {xx} xi ^ 2 + F_ {yy} eta ^ 2 + 2F_ {xy} xi eta) + ldoti #

Za funkcijo

#f (x) = x y e ^ {- x ^ 2 -y ^ 2} #

imamo

# (del f) / (del x) = vi ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = y (1-2x ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

# (del f) / (del y) = xe ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x y (-2y) e ^ {- x ^ 2 -y ^ 2} #

#qquad = x (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Enostavno je videti, da oba prva izpada izgineta na naslednjih ponrsih

• #(0,0)#
• # (0, pm 1 / sqrt2) #
• # (pm 1 / sqrt2, 0) #
• # (pm 1 / sqrt2, pm 1 / sqrt2) #

Da bi preučili naravo teh stacionarnih točk, moramo pogledati vedenje drugih derivatov tam.

Zdaj

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = y (-4x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + y (1-2x ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = x y (4x ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

in podobno

# (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = xy (4y ^ 2-6) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

in

# (del ^ 2 f) / (del xdel y) = (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} + x (1-2y ^ 2) (-2x) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2-2y ^ 2 + 4x ^ 2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

#qquad = (1-2x ^ 2) (1-2y ^ 2) e ^ {- x ^ 2-y ^ 2} #

Torej za #(0,0)# imamo # (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 0 # in # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 1 # - torej

#f (0 + xi, 0 + eta) = f (0,0) + xi eta = xi eta #

Če se približate #(0,0)# vzdolž črte # x = y #, to postane

#f (0 + xi, 0 + xi) = xi ^ 2 #

in tako #(0,0)# je očitno minimalen, če se približujete iz te smeri. Po drugi strani pa, če se približujete črti # x = -y # imamo

#f (0 + xi, 0-xi) = -xi ^ 2 #

in tako #(0,0)# je največja ob tej smeri, Tako #(0,0)# je sedežno točko.

Za # (1 / sqrt2,1 / sqrt2) # to se zlahka vidi

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = -2e ^ {- 1/2} <0 # in # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

kar pomeni

#f (1 / sqrt 2 + xi, 1 / sqrt 2 + eta) = f (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) -e ^ {- 1/2 (xi ^ 2 + eta ^ 2)} #

Torej, funkcija se zmanjša, ne glede na to, od kod ste oddaljeni # (1 / sqrt 2,1 / sqrt 2) # in to je a lokalni maksimum. Zlahka se vidi, da velja enako # (- 1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # (to bi moralo biti očitno, saj funkcija ostane enaka pod # (x, y) do (-x, -y) #!

Tudi za oba # (1 / sqrt2, -1 / sqrt2) # in # (- 1 / sqrt2,1 / sqrt2) # imamo

# (del ^ 2 f) / (del x ^ 2) = (del ^ 2 f) / (del y ^ 2) = 2e ^ {- 1/2}> 0 # in # (del ^ 2 f) / (del x del y) = 0 #

Obe točki sta torej lokalni minimumi.

Štiri točke # (0, pm 1 / sqrt2) # in # (pm 1 / sqrt2, 0) # so bolj problematični, saj na teh točkah izginjajo vsi derivati drugega reda. Zdaj moramo pogledati derivate višjega reda. Na srečo nam ni treba resno delati za to - prav naslednji izpeljani donos

# (del ^ 3 f) / (del x ^ 3) = -2y (3-12x ^ 2 + 4x ^ 4) e ^ {- x ^ 2 -y ^ 2} #

ki ni nič za obe # (0, pm 1 / sqrt2) # in # (pm 1 / sqrt2, 0) #. To zdaj pomeni, na primer

#f (0 + xi, 1 / sqrt 2) = f (0,1 / sqrt 2) +1/3 ((del ^ 3 f) / (del x ^ 3)) _ {(0,1 / sqrt2) } xi ^ 3 + … #

kar kaže, da se bo to povečalo z # f (0,1 / sqrt 2) # v eni smeri in se iz njega zmanjšujejo v drugi. Tako # (0,1 / sqrt2) # je točka pregibanja. Isti argument velja za druge tri točke.